【数论学习】奇素数分解为两个数平方和

最新推荐文章于 2022-10-15 14:55:14 发布

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#数论

本文探讨了数论中的一个特殊性质，即只有形如4k+1的奇素数可以表示为两个数的平方和，并提供了证明。文章通过数学推导证明了这一断言，并介绍了求解此类问题的算法，算法时间复杂度为O(logp)，具有较高的效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先需要考虑哪些奇素数可能分解为两个数平方和。

引论：只有形如4k+1的奇素数可能被分解为两个数平方和。

证明：对于一个奇素数p能够被分解为两个数的平方和 $P=a^{2}+b^{2}$ ，这样a和b必定是一奇一偶，设a=2u、b=2v+1

代入原方程得： $4\times u^{2}+4\times v^{2}+4\times v + 1=4\left (u^{2}+v^{2}+v \right )+1$ ，令 $k=u^{2}+v^{2}+v$ ，则p=4k+1,得证。

接下来要考虑的是不是所有形如4k+1的素数都能够分解为两个素数和。

断言：形如4k+1的奇素数能够被分解为两个数平方和。

在证明这个断言前，需要说明一个等式：

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