路径积分

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——燕园疯子

路径积分

定义

$\mathbb C$上的连续的曲线$\gamma=\widehat{p_0p_n}$,复变函数$f(z)$，对$\gamma$黎曼和

$$\sum_{i=1}^nf(\xi_i)({z_i-z_{i-1}})$$
当$\max\{\mathrm{diam}(\widehat{z_i-z_{i-1}})\}\to0$时，如果极限总是存在，称为路径积分。

设$z(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$如果$u(x,y)和v(x,y)$在$\gamma$上的第二型曲线积分存在，则$f(z)$在$\gamma$上可积。

性质

• 方向性：以$-\gamma$表示曲线$\gamma$取相反定向，有
  $$\int_{-\gamma}f(z)\mathrm dz=-\int_{\gamma}f(z)\mathrm dz$$
• 线性性
  $$\int_{\gamma}[af(z)+bg(z)]\mathrm dz=a\int_{\gamma}f(z)\mathrm dz+b\int_{\gamma}g(z)\mathrm dz$$
• 可加性
  设$\gamma$被一点分为$\gamma_1$和$\gamma_2$，
  $$\int_{\gamma}f(z)\mathrm dz=\int_{\gamma_1}f(z)\mathrm dz+\int_{\gamma_2}f(z)\mathrm dz$$
• 绝对值不等式
  $$\left|\int_{\gamma}f(z)\mathrm dz\right|\leq\int_{\gamma}|f(z)||\mathrm dz|=\int_{\gamma}|f(z)|\mathrm ds$$

一致收敛

【定义】 函数列$\{f_n(z)\}$定义在$K$上.$\forall \varepsilon>0$，$\exists N,s.t.\forall n>N,z\in K$,

$$|f_n(z)-f(z)|<\varepsilon$$
称$\{f_n(z)\}$一致收敛于$f(z)$.

【定理】 设$\gamma$是$\mathbb C$中分段光滑的有界曲线，$\{f_n(z)\}$是$\gamma$上连续函数列，并且在$\gamma$上一致收敛于$f(z)$，则$f(z)$在$\gamma$上连续并且

$$\lim_{n\to\infty}\int_\gamma f_n(z)\mathrm d z=\int_\gamma \lim_{n\to\infty}f_n(z)\mathrm d z=\int_\gamma f(z)\mathrm d z$$

例子

$$\int_{\gamma}z^n\mathrm dz=\left.\dfrac{z^{n+1}}{n+1}\right|_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}$$
也就是说积分的结果和路径无关。

如果$\gamma$是光滑闭曲线，那么积分为$0$.

如果$n=-1$，有

$$\int_{\gamma}\dfrac1z\mathrm dz=\int_{0}^{2\pi} e^{-i\theta}\mathrm d\theta=2\pi i$$

柯西定理

【定理】(Cauchy定理) 设$\Omega$是$\mathbb C$中以有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域，函数$f(z)$在$\overline{\Omega}$上连续，在$\Omega$上解析，则

$$\int_{\partial \Omega}f(z)=0$$

柯西公式

柯西公式

【定理】(Cauchy公式) 设$\Omega$是由有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域，$f(z)$在$\overline{\Omega}$上连续，在$\Omega$上解析，则$\forall z\in \Omega$

$$f(z)=\dfrac1{2\pi i}\int_{\partial \Omega}\dfrac{f(w)}{w-z}\mathbf dw$$

称$\dfrac1{2\pi i}$为Cauchy核函数，可以看作一个$f(z)$的权，或者分布密度。

解析的充要条件

【引理】 (Cauchy型积分) 如果$l$是$\mathbb C$中一有界的分段光滑曲线，$\bar l=l,\varphi(z)$是$l$上一个可积函数，对于任意$z\in\mathbb C-\{l\}$,定义

$$f(z)=\dfrac1{2\pi i}\int_l\dfrac{\varphi(w)}{w-z}$$
则$f(z)$是$\mathbb C-\{l\}$上的解析函数。

【定理】 函数$f(z)$在区域$\Omega$上解析的充分必要条件是$\forall z_0\in\Omega,f(z)$可以在$z_0$的邻域上展开为(z-z_0)的幂级数。

【推论】如果$f(z)$在区域$\Omega$上解析，则其实部和虚部在$\Omega$中每一个点的充分小的邻域内可以展开为$x$和$y$的幂级数，因而都是$C^{\infty}$的函数。

Morera定理

【定理】（Morera定理） 设$\Omega\subset\mathbb C$ 为一个区域，$f(z)$在$\Omega$内连续，$f(z)$在$\Omega$内解析的充分必要条件是对$\Omega$中任意由逐段光滑曲线为边界围成的有界区域$D$，如果$\overline{D}\subset\Omega$，则

$$\int _{\partial}f(w)\mathrm dw=0$$

【推论】如果$D$是$\mathbb C$中的单连通区域，$f(z)$是$D$上的解析函数，则存在$D$上的函数$F(z)$，使$F'(z)=f(z)$，即$f(z)$在$D$上有原函数。

【反例】如果区域不是单连通的，则推论不成立。比如，$f(z)=\dfrac1z$，$f(z)$是$\mathbb C-\{0\}$上的解析函数，但是积分并不等于$0$.所以$f(z)$在$\mathbb C-\{0\}$上并没有原函数。但是，多连通区域上，只要$f(z)$去除一些“渣渣”，就可以找到原函数，这就是留数的概念。

【定义】（内闭一致收敛） 如果区域$\Omega$上的函数列$\{f_n(z)\}$在$\Omega$中的任意紧集上一致收敛于$f(z)$，即对$\Omega$中任意紧集$K$以及任意$\varepsilon>0,\exists N,s.t. n>N$后，$|f_n(z)-f(z)|<\varepsilon$对所有的$z\in K$成立，就称$\{f_n(z)\}$是内闭一致收敛于$f(z)$的。

【定理】设$\{f_n(z)\}$是区域$\Omega$上的解析函数列，且在$\Omega$上内闭一致收敛于$f(z)$，则$f(z)$在$\Omega$上解析。

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本篇主要参考谭小江伍胜健《复变函数简明教程》