N!的素因子分解

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本文详细阐述了如何通过分解质因数来计算阶乘中各个质因数的幂次，提供了求解阶乘中特定质因数幂次的递归公式，并给出了求解过程的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

N! = p1^t1*p2^t2*…pi^ti…*pk^tk（其中p1，p2……pk是素数，1<N<= 10^6）

很明显我们首先要筛出小于等于n的所有素数

然后我们将n分成两部分考虑，

1）为某个素因子的倍数，2)不是这个因子的倍数

例如： f(n,2)

n!=(2*4*6*....n)*(1*3*5*.....*(n-1))

=2^(n/2)*(1*2*3*4*......n/2)*(1*3*5*..(n-1)) 得到了

......

因此我们就得到了递推公式对某个因子的次数 f(n,p) = f(n/p,p)+ n/p ;

下面这个还讲了关于这个问题的推广

http://www.cnblogs.com/openorz/archive/2011/11/14/2248992.html

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 10000010;
int prime[maxn],cnt;
int ans[maxn];
bool is[maxn];

void init(int n)
{
    cnt=0;
    memset(is,1,sizeof(is));
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(is[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
                is[j]=0;
        }
    }
}

int fen(int n,int p)
{
    if(n==0) return 0;
    return fen(n/p,p)+n/p;
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        init(n);
        for(int i=0;i<cnt;i++)
            ans[i]=fen(n,prime[i]);
        for(int i=0;i<cnt;i++)
            printf("%d^%d\n",prime[i],ans[i]);
    }
    return 0;
}