强连通分量 Tarjan 算法入门笔记

最新推荐文章于 2025-05-09 19:33:52 发布

无名蒟蒻

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本文介绍了强连通分量的概念及其在有向图中的重要性，阐述了Tarjan算法的基本思想和实现过程，包括深度优先遍历中的边分类，并解释了low数组在判断强连通分量中的核心作用。Tarjan算法具有O(n+m)的时间复杂度，比其他算法更高效。

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强连通分量在图论问题中得到广泛的应用，往往可以将有向图缩点，得到一个 DAG，于是避免了原图中可能有环造成后效性，可以在上面进行动态规划求解。
显然强连通分量是只针对于有向图而言的。对于一个连通的无向图，它本身就是一个连通分量。

例如，对于该图：

不难看出，其中结点 1、2、3 和 4 任意两点间互相可达，于是可以在上面跑一遍求强连通分量的算法，进行缩点后得到：

为了学习好强连通分量，必须首先明确一些相关概念。可能会有些枯燥，但也是必要的。
如果在一个图中，选取一些结点和边，得到的新图中任意两个结点间互相可达，则称该新图为原图的一个连通子图。
强连通分量是有向图的极大连通子图。所谓“极大”，是指对于该连通分量，不存在原图中某个不在该连通分量的点，可以加入后依然使该连通分量强连通。
通俗地说，就是每一个强连通分量都已经不能再大了，无法往其中加点。对于缩点后得到的新图，不存在某两个结点相互可达。

求强连通分量的算法有好几种，这里我们介绍一下 Tarjan 算法。
该算法是以其发明者 Robert Tarjan 的姓名命名的，值得一提的是，这个人还提出了解决 LCA 的离线算法、LCT、并查集等，是计算界一位伟大的科学家。

求强连通分量的 Tarjan 算法是基于 dfs 实现的。因此有必要回顾一下，对于有向图，进行深度优先遍历时边的分类：
我们在做dfs的时候，当访问到一个节点时，会出现四种情况：

此节点未被访问过，则此次的访问关系边（发起点——>接受点）称为树边（tree edge）；
此节点被访问过但此节点的子孙还没访问完，换句话说，此次的发起点的源头可以追溯到接收点，则此次访问关系边称为后向边（back edge）；
此节点被访问过且此节点的子孙已经访问完，而且发起点是搜索初始边，则称为前向边（down edge）；
此节点被访问过且此节点的子孙已经访问完，而且发起点不是搜索初始边，则称为横叉边（cross edge）。

在理解了这几个边的基础上，再来看 Tarjan 算法就会好理解很多。Tarjan 算法求强连通分量的核心是用到了两个数组 dfn[] 和 low[] 进行标记，因此有时它也被称为 DFN-LOW 算法。（dfn 的全称应该为 depth first (traversal) number？）

我们知道，对于一个图的深度优先遍历是有一定顺序的，而且可以用堆栈保存遍历的过程。通过巧妙的处理，可以在回溯时判断栈顶到栈中的结点是否在同一个强连通分量中。定义 $dfn_u$ 为节点 $u$ 被访问到的次序编号（时间戳）， $low_u$ 为 $u$ 或 $u$ 的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

于是有

low(u) = min{
    dfn(n), //这是显然的
    low(v), //对于 u 在搜索树中的每一个儿子 v，即 (u, v) 为树边
    dfn(v), //v 为栈中结点，但不是 u 的儿子，即 (u, v) 为后向边
}

当 $dfn_u = low_u$ 时，以 $u$ 为根的搜索子树中的所有结点组成一个强连通分量，这个比较好理解，也就是说，从 $u$ 出发不可能再到达搜索树中 $u$ 的祖先，而此时还在栈中的结点都是 $u$ 能够到达的，且它们相互可达，故组成一个强连通分量。

理解好 $low$ 数组的妙用，则整个算法的精华就掌握了，编程上并不难实现。容易发现，在整个算法过程中，每个结点只进出一次堆栈，每条边也只被访问一次，因此算法的时间复杂度是 $O(n+m)$ ，比另一种求强连通分量的 Kosaraju 算法要快。

模板：

void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++time1;
    ins[u]=true;
    stac[++top]=u;
    for(int i=0;i<edge[u].size();i++)
    {
        int v=edge[u][i];
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        cnt++;
        int k;
        do
        {
            k=stac[top--];
            ins[k]=false;
            p[k]=cnt;
        }while(k!=u);
    }
}

事实上，很多算法和数据结构的学习都是这样的，掌握好这个算法本身并不是特别困难。当理解了之后，要编码是不难实现的，关键在于如何灵活运用。

本篇笔记参考资料：https://www.byvoid.com/blog/tag/Tarjan
在此表示感谢。