[Cogs]-1032-最小交换排序

最新推荐文章于 2023-02-12 17:41:53 发布

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本文介绍了一种解决最小交换排序问题的独特方法，通过离散化和策略调整，实现O(n)复杂度的高效算法。该方法巧妙地将原始序列转化为已排序序列，进而计算所需的最少交换次数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

奇♂怪的题，我用了丧心病狂的方法，有必要写下题解

最小交换排序

【问题描述】

    小x最近切了一道很水的排序题，但是在AC之后，他想到了一个问题：

给定n个不相等的整数，将其按从小到大排序，你每次可以对任意一对数进行交换，问最少的交换次数是多少？

【输入】

第一行：一个整数n

第二行：n个用空格隔开的正整数ai，-2^31<ai<2^31

【输出】

一个整数，表示最小交换次数。

【输入输出样例】

minsort.in minsort.out
88 23 4 16 77 -5 53 100 5

【数据范围】

   20% n<=100

   50%   n<=5000

   100% n<=100000

根据dw定理可以推出答案的值就是最长上升子序列的长度（参见我写的偏序集Dilworth定理证明及应用）

但说是丧心病狂，我们就有丧心病狂的方法，最长上升子序列O(n*logn)但我们用O(n)的方法，并且常数还比较小

先把{ai}离散化到{bi}

比如我们输入的{ai}是 2 9 18 36 7

{bi}:1 3 4 5 2

答案等价于我们把bi变成1 2 3 4 5 也就是b[i] = i（废话

这里我们的策略是到第i位时，把实际在第i位的数b[i]和应该在第i位的数i调换位置（当然了di == i时不用换了

那么问题就来了，挖掘机技术哪家强？

好吧，问题是我们怎么知道要和bi交换的i在哪里？

我们再来一个数组{fi}保存{bi}中数字i的位置，做出{fi}的原理也和{ai}变到{bi}一样离散一下（就是不用排序

我们就把b[i]和b[f[i]]交换位置就行了

但是交换了还得再调整部分fi的值

b[f[i]]（数值为i）上的值变成了b[i]所以f[b[i]]（b[i]的位置改了所以f[b[i]]要改）要改，改成什么呢？

b[i]是和i（b[f[i]]）交换的,所以b[i]的位置要变成原来i的位置,i的位置又是f[i]，所以f[b[i]]改成f[i]

还要变的是f[i]，b[i]和i换了，所以i的位置就是i，也就是f[i] = i;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#define maxn 100010
using namespace std;
struct node
{
    int x, num;
} a[maxn];
bool cmp(node a, node b)
{
    return a.x < b.x;
}
int b[maxn], f[maxn], ans, n;
inline void solve()
{
    scanf(“%d”, &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf(“%d”, &a[i].x);
        a[i].num = i;
    }
    sort(a, a + n, cmp);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        b[a[i].num] = i;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        f[b[i]] = i;
    int t;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (f[i] != i)
        {
            f[b[i]] = f[i];
            t = b[i];
            b[i] = b[f[i]];
            b[f[i]] = t;
            f[i] = i;
            ans ++;
        }
    }
    return ;
}
int main()
{
    freopen(“minsort.in”, “r”, stdin);
    freopen(“minsort.out”, “w”, stdout);
    solve();
    printf(“%d”, ans);
    return 0;
}

http://www.laomaotao.net/?E3887