HDU 1796 How many integers can you find（简单容斥原理）

最新推荐文章于 2019-08-15 22:02:00 发布

jason_star

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本文介绍了一种使用容斥原理解决特定整除问题的方法，并提供了两种实现思路：一种是利用DFS算法，另一种是通过位元素枚举的方式。通过这两种方法，可以有效地找出在一定范围内能够被指定序列中任意一个数整除的数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：有一个序列，大小为m，里面有m个不超过20的非负数，各不相同。要求在1-n中有多少个能被m个数中任意一个数整除。

题目思路：简单的容斥原理应用。就不说了直接上代码。

有两种方法，一种是DFS，一种是直接位元素枚举暴力（study from zhixiaoli)

DFS：（速度较快）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[15];
int n, m;
int gcd(int a, int b)
{
	if (b == 0)
		return 0;
	int c = a%b;
	while (c)
	{
		a = b;
		b = c;
		c = a%b;
	}
	return b;
}
long long lcm(long long a, long long b)
{
	long long c = gcd(a, b);
	if (c == 0)
		return 0;
	return a*b / c;
}
int gao(int x)
{
	if (x == 0)
		return 0;
	return n / x;
}
int dfs(int i, bool flag, long long LCM)
{
	long long ans = 0;
	long long mid = lcm(max(LCM,a[i]), min(LCM, a[i]));
	if (flag) ans += gao(mid);
	else ans -= gao(mid);
	for (int j = i + 1; j <= m; j++)
		ans += dfs(j, !flag, mid);
	return ans;
}
int main()
{
	while (cin >> n >> m)
	{
		n--;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			cin >> a[i];
		long long num = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			num += dfs(i, 1, 1);
		cout << num << endl;
	}
}

位元素枚举：（速度较慢）

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
int n, m;
ll a[15];
ll GCD(ll x, ll y)
{
	return y ? GCD(y, x%y) : x;
}
ll LCM(ll x, ll y)
{
	return x / GCD(x, y)*y;
}
ll gao(int l, int&cnt)
{
	ll res = 1;
	for (int i = cnt = 0; i < m; i++)
	{
		if (l&(1 << i))
		{
			cnt++;
			res = LCM(res, a[i]);
		}
	}
	return res;
}
int main()
{
	while (~scanf("%d%d", &n, &m))
	{
		n--;
		int k=m;
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			scanf("%lld", &a[i]);
			if (!a[i]) k = i;
		}
		if (k != m)
		{
			m--;
			swap(a[m], a[k]);
		}
		ll ans = 0;
		for (int i = 1; i < (1 << m); i++)
		{
			ll temp = gao(i, k);
			if (k & 1)
				ans += n / temp;
			else
				ans -= n / temp;
		}
		cout << ans << endl;
	}
}