禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》

本书专为教材定制，历时15年的沉淀和积累，源自三位作者累加超百年科研和教学的积累。配套课件、教学大纲、实验指导书、MATLAB源代码、习题解答、微课、动图、拓展阅读等教辅资源，为教学提供全方位服务。若选用本书作为教材，则提供进一步的教学支撑。

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本书在Rafael Gonzalez和Richard Woods所著的《数字图像处理》知识体系和内容架构的基础上，对线性空域滤波、图像去噪、几何校正、Otsu 阈值法、区域生长法、膨胀与腐蚀、特征提取等章节进行重新梳理，对直方图均衡化、直方图规定化、最小二乘复原、逆滤波、维纳滤波等内容进行修正。主要贡献在于：

• 增加图像插值的内容，几何校正独立成章
  本书增加图像插值的内容，由于几何校正包括空间变换和灰度插值两个阶段，将几何变换和图像插值两大部分的内容组织成章。除了在几何校正中的应用，几何变换和图像插值都各自有其广泛的应用。在图像插值部分，从数学上分段插值的角度介绍了三种常用的图像插值方法的插值核函数，通过统一的框架描述有助于直观地比较这三种插值方法。

• 对直方图均衡化、直方图规定化方法进行修正
  直方图规定化是从原累积直方图到任意指定函数的映射，而直方图均衡化是从原累积直方图到均匀分布累积直方图的映射，并非对累积直方图的灰度级量化。因此，直方图均衡化是直方图规定化的特例，而并非直方图规定化以直方图均衡化作为桥梁。本书对相关内容进行修正，将直方图均衡化统一到直方图规定化的框架中。

• 对频域滤波的内容进行修正
  按照滤波器的实现方式，滤波器分为模拟滤波器（analog filter）和数字滤波器（digital filter）。模拟滤波器是利用模拟电路实现的滤波器，处理连续时间信号。数字滤波器是利用数字信号处理算法实现的滤波器，处理离散时间信号。数字滤波器设计包括IIR（infinite impulse response）数字滤波器和FIR（finite impulse response）数字滤波器。IIR滤波器的冲激响应是无限时宽的序列，而FIR滤波器的冲激响应是有限时宽的序列。在数字图像处理的滤波应用中，通常使用卷积实现，IIR数字滤波器的递归结构不适合数字图像处理的应用。FIR数字滤波器具有稳定性，以及易于设计和卷积实现的特点，在数字图像处理中涉及的滤波器都是FIR数字滤波器。
  在频域滤波一章，Gonzalez介绍了理想滤波器、巴特沃斯和高斯滤波器。这部分的内容存在诸多问题：
  (1) 模拟滤波器和数字滤波器
  在模拟域中，频率是连续变化的物理量，单位是赫兹（Hz），频率范围是无限的（从$-\infty$到$+\infty$），而数字信号是对模拟信号的采样，频域带宽不再是无穷，有限带宽是$[-f_s/2,f_s/2]$，采样频率的一半$f_s/2$称为奈奎斯特频率。数字频率表示为从$-\pi$到$\pi$ rad（归一化角频率）或$[-1,1]$（以采样频率的一半为单位，归一化频率）。巴特沃斯滤波器是典型的模拟滤波器，冈萨雷斯对模拟巴特沃斯滤波器频率采样，而且是全尺寸采样（问题见下）。对典型滤波器的幅值响应函数采样，也不能直接对模拟滤波器直接采样。数字信号使用数字滤波器，模拟滤波器若要应用于数字信号，首先需要限制频率范围。例如，双线性变换法将模拟滤波器的无限频率范围映射到了数字滤波器的有限频率范围内，但这不是一个简单或直接的“带宽压缩”过程。更准确地说，它是通过一种频率轴的非线性映射方法，使得模拟滤波器的频率响应能够在数字滤波器中近似，同时保持滤波器的稳定性和避免混叠。即使可以通过频率映射，数字滤波器设计也不会用这样没效率的方法。
  (2) 频率变换
  对于模拟滤波器，利用从全通滤波器（单位增益）减去低通（带通）滤波器转换为高通（带阻）滤波器（频率响应相减法）会引入脉冲信号，而脉冲信号是强干扰。在模拟滤波器设计中，首先按照技术指标设计低通滤波器，通过频率变换将模拟原型低通滤波器变换为任意截止频率的低通、高通、带通、带阻等其他类型的选频滤波器。
  即使对于FIR数字滤波器，通过频率响应相减法将低通滤波器转换为高通滤波器是一种简单的方法，这种方法简单直观，易于理解和实现，但是低通滤波器在截止频率处幅值响应的增益为0.707（-3dB），高通滤波器在相同频率处的增益为0.293，而不是0.707。即使是FIR数字滤波器，也一般不会使用从单位增益中减去低通滤波器的频率响应转换为高通滤波器的方法，这样的做法不能确保转换后的高通滤波器与低通滤波器在结构上相似，从而保持相同的滤波器阶数和特性，以及高通滤波器在所有频率处的增益特性与低通滤波器一致。模拟滤波器更不会这样做。
  (3) 巴特沃斯滤波器的截止频率
  巴特沃斯模拟低通滤波器，在截止频率处功率降为通带功率的一半，即截止频率处的衰减固定为$3$ dB，对应的幅值响应下降到其最大值的$0.707$。由巴特沃斯模拟低通滤波器通过频率变换生成的低通、高通、带通、带阻滤波器，在通带与阻带间过渡的截止频率处，功率的增益均为$-3$ dB，即衰减$3$dB。在信号处理中，巴特沃斯低通滤波器一般以幅值平方表示。然而，Gonzalez的巴特沃斯滤波器的幅频响应少了一个根号，截止频率处幅值响应下降到其最大值的$0.5$。巧合的是，如果没有这个平方，通过频率变换生成的巴特沃斯高通滤波器就符合他假设的高通滤波器与低通滤波器之间相加为单位增益的关系。关于巴特沃斯带通、带阻滤波器，在Gonzalez给出的公式中，上下截止频率处的增益都不是$-3$dB，而且这两者还不相同。
  (4) FIR数字滤波器设计频率采样方法
  将模拟滤波器转换为数字滤波器是IIR数字滤波器设计的一种常见方法。FIR 数字滤波器设计是对理想滤波器频率特性的直接逼近，不需要借助模拟滤波器。
  Gonzalez对模拟滤波器进行全尺寸采样（书中称为全尺寸），即构造与图像的尺寸相同采样点数的频域滤波器。书中点到频率距离中心的距离计算公式就相当于离散采样，应该是对频率平面采样（保证偶函数，奇数尺寸）。截止频率和半径是两个概念，不同图像尺寸不同，用半径作为参数极不可控。
  频率采样法设计FIR滤波器是基于直接在数字频域指定所需的滤波器频率响应样本点来进行设计的。简言之，想要0就设置0，想要1就设置1，而模拟很难控制。频率采样法设计FIR滤波器指定滤波器的频率响应是对理想滤波器频率特性的直接逼近，通过增加过渡点减少Ripples，而不会直接选择对巴特沃斯这样的模拟典型滤波器采样。频率采样方法利用离散傅里叶变换的性质，通过直接在频域指定频率点上的理想频率响应值来设计滤波器，频率响应通过这些指定的点。
  (5) 理想滤波器
  本章的滤波基础是卷积定理，由于IIR数字滤波器的冲激响应是无限时宽的序列，不能通过卷积实现滤波。虽然Gonzalez在书中一直没有明确说明他介绍的滤波器类型，但是根据上述内容可以推断出，Gonzalez所想的是FIR数字滤波器，不是IIR数字滤波器，更不可能是模拟滤波器。实际上，FIR数字滤波器设计的频率采样方法就是对频域滤波器进行采样。既然是FIR数字滤波器，那就不是理想模拟滤波器，而是理想滤波器的离散采样，那怎么会是物理不可实现？能用卷积实现的滤波器都是FIR滤波器，都是物理可实现的。书中这样介绍理想滤波器也并不是模拟滤波器，频率采样FIR数字滤波器设计就是对理想滤波器的直接采样，因此，这样介绍理想滤波器没有任何意义。我认为这部分内容Gonzalez不是对模拟滤波器的误解，就是对频率采样方法的误解。
  (6) FIR滤波器设计方法解决振铃效应
  对于FIR数字滤波器，在过渡带增加采样点来降低振铃效应，而不会利用对如巴特沃斯这样通带与阻带过渡平滑的模拟滤波器频率采样来解决该问题，而模拟滤波器一般用于IIR数字滤波器的设计。有的刊物中提到的梯形滤波器是对这种情况的误解。或者使用窗方法，更好地解决由于过渡带过陡导致的振铃效应。
  (7) 快速卷积
  在滤波基础部分，Gonzalez错误地理解了频域滤波，FIR滤波器设计都是构造空域脉冲响应。通过频域乘积是快速卷积。实现一般的原则是，小尺寸的滤波器在空域通过卷积实现更快，大尺寸的滤波器在频域通过频域滤波实现更快。
  (8) 全尺寸采样的问题
  Gonzalez中所谓的“通过对全尺寸频域滤波器计算傅里叶逆变换，由对应的全尺寸空域冲激响应指导小尺寸空域模板的设计”这样的想法根本没有可操作性。无论频率采样方法还是窗方法都是对期望的理想滤波器直接采样的点数，决定空域脉冲响应的长度（滤波器的阶数是长度减1）。从频域滤波器转换到空域滤波器，傅里叶逆变换的采样点数等同于频域滤波器的采样点数。所以，他将图像尺寸放大为原来的二倍（事实上线性卷积，$2N-1$即可，$N$是信号的长度，本来就是零延拓避免循环卷积带来的边界效应的问题，让他说的那么复杂），那是因为他全尺寸采样滤波器，那空域滤波器的尺寸与图像尺寸相同。一方面，空域没有必要这么大，对于频域是矩形函数，空域则是sinc函数，函数值随着距离中心迅速减小，外围的值很小，截断是合理的，否则只会消耗计算量，卷积的贡献很小。在频域设计滤波器中，滤波器的阶数是重要参数。在满足预设性能指标的前提下，低阶滤波器具有计算高效性、结构鲁棒性及实现简便性。另一方面，那这样的卷积，边界问题不得不解决。
  (9) 零相位滤波器
  零相位滤波器要求滤波器的尺寸为奇数，FFT算法的实现通常是选择$2$的幂次大小，这是偶数。这是全尺寸频率采样的悖论。理想滤波器由于是有限带宽，补零没有影响，然而对于巴特沃斯模拟滤波器这样采样，则不是零相位滤波器，结果会有复数。之所以目前冈萨雷斯的例子没有出现这样的问题，是因为低通滤波器尾部衰减为零，高通滤波器又去除了很大的能量，所以没有表现出来。
  (10) FIR数字滤波器设计的易实现性
  二维FIR数字滤波器设计是对理想滤波器频率特性的直接逼近。滤波器的设计不仅有圆对称滤波器，而且包括可分离滤波器，利用窗函数、频率采样等FIR设计方法可以很容易地设计这两种不同结构的滤波器，而典型的一维模拟滤波器仅易于扩展到二维圆对称滤波器。而且通过直接对各种选频滤波器的直接逼近，很容易实现各种响应类型，无需频率变换。
  (11) 高斯滤波器没有截止频率的概念
  频域中不会使用高斯滤波器，主要是因为高斯函数在频域中的频率响应不是理想的。在频域中，高斯函数的频率响应是指数衰减的形式，而不是严格的截止或带通特性。换句话说，频域中无法提供明确的截止频率或带通范围。让方差作为截止频率的概念也不正确。在频域中，常用的典型滤波器包括巴特沃斯滤波器、椭圆滤波器和切比雪夫滤波器等，它们能够提供更明确的频率截止或带通特性。空域中常用高斯模糊核，这是因为高斯函数具有良好的数学性质。此外，高斯模糊核的频率响应是连续的，可以避免频率失真或振铃效应。
  (12) 高斯函数构造高通滤波器
  两个高斯函数相减本身就是高通滤波器，这也是高斯差分（DoG）算子的理论依据。事实上，高通滤波器的增益系数并不重要。而且单位增益减去高斯滤波器本身也不是高斯函数了，称为高斯高通滤波器也不合理，而且也不会这样设计高通滤波器。根据泰勒展开近似，所谓的高斯高通滤波器等价于拉普拉斯算子的频域滤波器。在Gonzalez的书中，近似的小模板也恰巧是空域拉普拉斯算子，这部分内容有理论依据，不是只凭感觉。

本书在电子文档中修正和完善了数字滤波器设计的相关内容，这部分的内容将在后续的版本中更正。

• 对图像复原的内容进行重新安排，对逆滤波、维纳滤波等内容进行修正
  图像复原也称为盲解卷积，不处理点扩散函数（光学传递函数）的都不是图像复原。几何校正不属于图像复原，图像投影重建也不属于图像复原，都不能归入图像复原。由于图像复原是图像降质模型的求逆过程，其目的是使估计图像逼近原图像。因此本书按照最优性准则对图像复原进行分类，将其划分为最小均方误差估计、最大后验估计/极大似然估计和最小二乘估计复原三类。以频域和空域的分类不合理，频域只是实现方式，最小均方误差复原和最小二乘复原都有频域和空域解。逆滤波可认为是最小二乘复原的频域解，假设噪声不存在的情况下推导逆滤波的思路不合理。维纳滤波是线性最小均方复原的频域解，它是最小均方误差估计，不是最小二乘估计。MATLAB 也认为维纳滤波是最小二乘解。最小均方估计和最小二乘估计是两个完全不同的概念，最小均方估计假设已知信号的分布，线性最小均方误差估计假设已知信号的一、二阶矩，最小二乘估计无须已知信号的统计知识。另外，维纳滤波的推导建立在零均值平稳随机过程的基础之上，因此在频域滤波之前需要减去均值，滤波之后再加回均值。MATLAB 图像处理工具箱中的维纳滤波函数有误，本书在二维码提供的代码中修正了相关部分。

• 对图像复原中图像去噪的相关内容进行重新安排
  关于图像去噪的滤波器，不考虑降质过程的滤波都不是逆问题。Gonzalez将自适应中值滤波和自适应局部降噪滤波归并为自适应图像去噪滤波器。尽管它们都是滤波器，然而从本质上讲，自适应中值滤波属于图像增强，并不属于图像复原。而自适应局部降噪滤波器是在线性最小均方准则下推导的局部空域形式的维纳滤波器（本书称为自适应维纳滤波器），因此，它属于图像复原。从严格意义上来讲，通过求逆的图像去噪不属于图像复原，本质上应归入图像重建，但是由于都是建立在降质模型基础上的逆问题，不严格来讲可以与图像复原合并。但是，不考虑降质模型的方法不能归入图像复原，这是因为图像增强和图像复原的处理方法和评价标准本质不同。均值滤波器、统计排序滤波器和陷波滤波器都不属于图像复原。这相当于频域滤波器可分为经典滤波器和现代滤波器，尽管都称为滤波器，然而前者属于增强，后者属于复原。

• 对脉冲噪声的统计模型进行修正
  关于脉冲噪声的统计模型，Gonzalez的前两版中以噪声的概率分布描述，脉冲噪声分布律的概率之和不等于1，后两版以图像的概率分布描述，随机变量取其他值是指任何一个可能值，而不是指其他任何可能值之和，且像素值也有极小值和极大值的可能，不是只有脉冲噪声是极大值或极小值。本书以噪声的分布律描述，修正了脉冲噪声概率分布的描述。

• 对自适应中值滤波进行修正
  在自适应中值滤波过程中，Gonzalez首先判断邻域像素的中间值是否为极值。当中间值不是极值时，才判断当前像素的灰度值是否为极值。只有当两者条件均满足时，才输出当前像素的灰度值。应直接判断当前像素的灰度值是否为极值，若当前像素的本身都不是极值，直接输出当前像素的灰度值，更好地保持图像的特性，同时查找中间值也增加了时间开销。

• 对边缘和边缘检测的概念进行修正
  边缘检测普遍上定义为灰度不连续性检测。然而不连续存在二义性，一方面可以理解为不同区域之间的不连续，另一方面是数学分析中的不连续点（间断点）的概念。这个定义仅适用于简单阶跃边缘的定义，不具有一般性，而且易于产生混淆。边缘可以定义为灰度变化率的极大值点，依据一阶导数的极值点，或二阶导数的过零点进行边缘检测。

• 对有限差分的相关内容进行完善
  关于有限差分，Gonzalez 在计算差分时不考虑4邻域和对角邻域中两个像素的距离不同，始终是两个像素值相减；且在链码相关部分，差分链码使用前向差分，形状数使用后向差分，不统一。本书在拉普拉斯变换、图像插值和中心差分（边缘检测的一阶差分方法）中统一为数学的差分计算公式，即变化率是指单位步长下的变化量，并统一计算前向差分。

• 从空域滤波角度对二值图像形态学中膨胀和腐蚀的定义和过程进行描述
  Gonzalez从集合角度定义膨胀和腐蚀，不易理解。本书从空域滤波角度对二值图像形态学中膨胀和腐蚀的定义和过程进行描述，并给出了动画演示过程。使用结构元素对图像的形态学处理与滤波模板的空域滤波具有类似的过程，在形态学基本运算中也将结构元素在图像中遍历，结构元素的原点与各个像素位置重合，结构元素与对应图像区域的集合运算结果作为输出图像中对应原点的值。

• 图像分割中增加一类基于模式分类的图像分割方法
  在实际应用中利用模式识别的方法是一种主要的图像分割方法。图像分割可以看成像素的分类或聚类问题，即对图像中每个像素分配所属的类别标签。大部分的模式分类方法都能够用于像素的分类。本书图像分割中增加一类基于分类或聚类的图像分割方法。

• 对特征提取的内容进行重新梳理
  模式识别和计算机视觉是特征提取的两大重要应用领域，在近几十年特征提取方法发展迅速。Gonzalez的重点在于二值图像分析，从边界描述和区域描述的角度介绍特征描述子。本书对该章重新梳理，从全局特征和局部特征的角度描述特征提取方法，删除了不常用的链码等二值目标描述子，以及直方图矩分析法、频谱分析法等纹理描述子，增加了经典的Harris、HoG等局部特征和描述方法，以及Gabor滤波器组的纹理描述方法等。

本书逻辑缜密、文字精炼、双色印刷、制作精良。全书共276个二维码，其中，目录页的二维码提供教辅资源，其他275个二维码包括70个MATLAB代码、20个微课、49个拓展阅读的电子文档、24个动态图像、100幅电子版高清插图、12幅思维导图。

本书提供330幅插图，其中24幅插图配有动态图像，对文字讲解辅助图形解释，图文并茂，形象生动。彩色图像以及高分辨率图像提供电子版高清插图，目前在教辅资源二维码中扩充到109幅。

各章节配有实例，提供70个实例的MATLAB源代码，便于了解从算法理论到实际应用的具体过程，通过动手实践深入理解算法，加强对算法的直观认知。

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配套20个微课，涵盖各章总结以及关键知识点。各章总结配合思维导图，归纳了主要内容以及它们之间的关联，通过各章学习的思维导引，有助于读者从整体上了解本课程的知识体系和逻辑架构。关键知识点深度剖析重点、难点内容，通过动画演示算法的过程，给出重要公式或结论的直观解释，包括电子成像多样性、直方图规定化、中值滤波、自适应中值滤波、直方图、卷积与互相关、线性空域滤波、傅里叶变换、膨胀与腐蚀运算，以及击中/击不中运算等10个知识点。其中卷积与互相关图形展示了从一维到二维的计算过程，说明了卷积、互相关与线性滤波之间的区别与联系；傅里叶变换详细讲解从三角函数形式的傅里叶级数到离散傅里叶变换的演化过程。通过几分钟的视频可全面理解复杂的概念和方法。