Leetcode 29 —— Divide Two Integers

博客介绍了如何在不使用乘除法和模运算的情况下,通过位运算来解决LeetCode第29题——Divide Two Integers的问题。作者提到最初的思路是反复减法,但时间复杂度高,然后提出了使用被减数左移的优化方法,将时间复杂度降低到O(logn),并给出了已通过的代码实现。

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29. Divide Two Integers

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Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

If it is overflow, return MAX_INT.

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题目要求:

不能使用乘除法和模操作 只能使用位运算和加减法


最开始想到的就是用被减去一直减去减数。。。  当然这样的时间复杂度不是最优的。


接着想到以2为基的数学形式表达,可以这样做: 减数一直左移 直到大于被减数。

这样是以2的幂次进行迭代,算法的时间复杂度为 O(logn)


上代码(已AC - 2016-03-24):

// 不能使用乘除法和模操作 只能使用位运算和加减法
int divide(int dividend, int divisor)
{
	// 边界判断
	if (divisor == 0 || (dividend == INT_MIN && divisor == -1))
		return INT_MAX;

	bool isNeg = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);
	long long dvd = labs(dividend);
	long long dvs = labs(divisor);
	long long res = 0;
	while (dvd >= dvs)
	{
		long long tmp = dvs, mul = 1;
		while (dvd >= (tmp << 1))
		{
			tmp <<= 1;
			mul <<= 1;
		}
		dvd -= tmp;
		res += mul;
	}
	
	return (isNeg) ? -res : res;
}

另外,注意一下边界数据的判断,测试用例中有各种边界条件的数据。


<think>嗯,用户让我介绍一下LeetCode的第29题,也就是“两数相除”。首先,我得先回忆一下这道题的具体内容。题目是要求不用乘法、除法和取模运算,实现两个整数的除法。对吧?那应该是在考察位运算或者加减法的巧妙应用。 接下来,用户可能想知道如何解决这个问题,以及需要注意的边界条件。比如,处理溢出情况,当被除数是最小负数,除数是-1的时候,结果会溢出,应该返回最大整数值。此外,所有数都要转成正数来处理,但原来的符号要记录下来,最后再调整结果的正负。 然后,我需要考虑如何用加减法或者位运算来模拟除法。通常,这可以通过不断减去除数的倍数来加速计算,比如每次将除数左移一位(相当于乘以2),直到不能再减为止。这样可以减少循环次数,提高效率。 还要注意,处理负数的时候,直接转成负数可能更好,因为负数的范围比正数大,比如-2^31转成正数会溢出。所以,可能应该将被除数和除数都转为负数来处理,这样避免溢出问题。 然后,具体的实现步骤可能包括:处理符号,转成负数,然后循环减去除数的倍数,同时记录累加的结果。比如,当被除数是-10,除数是-3的时候,初始余量是-10,除数是-3。第一次比较余量是否小于等于除数(这里都是负数,所以-10 <= -3),然后尝试减去除数的倍数,比如每次翻倍。 然后,用户可能需要具体的代码示例。这时候,我应该提供一个正确且高效的解决方案,用Java或者其他常用语言。比如,使用循环,每次将除数的值翻倍,直到超过被除数的当前余量,然后累加对应的商值。 最后,需要测试一些边界情况,比如被除数是-2147483648,除数是-1,这时候结果应该是2147483647,因为超出了整数最大值。另外,处理除数为1或-1的情况时,也需要快速返回结果,避免不必要的循环。 总结一下,解决这道题的关键在于处理符号转换,避免溢出,以及用位运算或倍增法来高效地计算结果。同时,需要注意各种边界条件,确保代码的鲁棒性。</think>LeetCode29题“两数相除”(Divide Two Integers)要求在不使用乘法、除法和取模运算的情况下,实现两个整数的除法运算。以下是逐步分析和解决方案: --- ### 问题描述 **目标**:计算整数除法 $dividend / divisor$,结果截断为整数(仅保留整数部分)。 **限制条件**: 1. 只能使用 **加减法** 和 **位运算**。 2. 假设运算结果在32位有符号整数范围内(即 $[-2^{31}, 2^{31}-1]$)。若结果溢出,返回 $2^{31}-1$。 --- ### 关键思路 #### 1. 处理符号 记录结果的符号(正或负),将被除数和除数统一转换为**负数**处理(避免正数溢出,如 $-2^{31}$ 转为正数会越界)。 #### 2. 倍增法加速 通过**指数级扩大除数倍数**(即每次翻倍),减少减法次数,优化时间复杂度至 $O(\log n)$。 #### 3. 边界条件 - 当 $dividend = -2^{31}$ 且 $divisor = -1$ 时,结果 $2^{31}$ 会溢出,需返回 $2^{31}-1$。 - 若除数为 $1$ 或 $-1$,可直接返回被除数或相反数。 --- ### 算法步骤 1. **符号处理**:根据 $dividend$ 和 $divisor$ 的符号确定最终结果的符号。 2. **转换负数**:将 $dividend$ 和 $divisor$ 转为负数。 3. **倍增法计算商**: - 每次尝试减去除数的最大倍数(即 $divisor \times 2^k$)。 - 通过左移运算(`<<`)快速计算倍数。 4. **处理溢出**:对结果进行越界检查。 --- ### 代码实现(Java) ```java class Solution { public int divide(int dividend, int divisor) { // 处理溢出情况 if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) { return Integer.MAX_VALUE; } // 确定结果符号 int sign = (dividend > 0) ^ (divisor > 0) ? -1 : 1; // 转换为负数处理(避免溢出) dividend = dividend > 0 ? -dividend : dividend; divisor = divisor > 0 ? -divisor : divisor; int result = 0; while (dividend <= divisor) { int value = divisor; int quotient = 1; // 倍增法加速:每次尝试减去除数的最大倍数(value >= -2^30,避免越界) while (value >= (Integer.MIN_VALUE >> 1) && dividend <= (value << 1)) { value <<= 1; quotient <<= 1; } dividend -= value; result += quotient; } return sign == 1 ? result : -result; } } ``` --- ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(\log n)$,每次循环将问题规模减半。 - **空间复杂度**:$O(1)$,仅使用常数级额外空间。 --- ### 示例测试 1. **输入**:`dividend = 10`, `divisor = 3` **输出**:`3` **解释**:$10/3 = 3.333$,截断后为 $3$。 2. **输入**:`dividend = -2147483648`, `divisor = -1` **输出**:`2147483647` **解释**:结果溢出,返回最大值。 --- 通过符号处理、倍增法和边界条件控制,此方法能高效解决两数相除问题。
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