线性规划与网络流24题之方格取数问题 二分图点权最大独立集

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=482

description

在一个有m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。 对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

input

多组数据输入. 每组输入第1 行有2 个正整数m和n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的m行，每行有n个正整数，表示棋盘方格中的数。

output

每组输出取数的最大总和.

sample_input

3 3 1 2 3 3 2 3 2 3 1

sample_output

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分析（引用BYvoid 大牛的分析）：
二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。
建模方法:
首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X 集合中顶点，白色格子看做Y 集合顶点，建立附加
源S 汇T。
1、从S 向X 集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y 集合中每个顶点向T 连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj 之间从Xi 向Yj 连接一条容量为无穷大的有向边。
求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。
建模分析:
这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集
与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割
问题解决。结论:最大点权独立集= 所有点权- 最小点权覆盖集= 所有点权- 最小割集= 所有点权- 网络最大流。
对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST 路径经过的点），每个顶点都在一个从S 到T 的路径上。割的性质就是不存在从
S 到T 的路径，简单割可以认为割边关联的非ST 节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有
增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方
法就是把XY 集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。
有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int oo=1e9;
/**oo 表示无穷大*/
const int mm=111111;
/**mm 表示边的最大数量，记住要是原图的两倍，在加边的时候都是双向的*/
const int mn=999;
/**mn 表示点的最大数量*/
int node,src,dest,edge;
/**node 表示节点数，src 表示源点，dest 表示汇点，edge 统计边数*/
int ver[mm],flow[mm],next[mm];
/**ver 边指向的节点，flow 边的容量，next 链表的下一条边*/
int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];
/**head 节点的链表头，work 用于算法中的临时链表头，dis 计算距离*/

/**初始化链表及图的信息*/
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
    node=_node,src=_src,dest=_dest;
    for(int i=0; i<node; ++i)head[i]=-1;
    edge=0;
}
/**增加一条u 到v 容量为c 的边*/
void addedge(int u,int v,int c)
{
    ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
    ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
/**广搜计算出每个点与源点的最短距离，如果不能到达汇点说明算法结束*/
bool Dinic_bfs()
{
    int i,u,v,l,r=0;
    for(i=0; i<node; ++i)dis[i]=-1;
    dis[q[r++]=src]=0;
    for(l=0; l<r; ++l)
        for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i])
            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)
            {
                /**这条边必须有剩余容量*/
                dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
                if(v==dest)return 1;
            }
    return 0;
}
/**寻找可行流的增广路算法，按节点的距离来找，加快速度*/
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
    if(u==dest)return exp;
    /**work 是临时链表头，这里用i 引用它，这样寻找过的边不再寻找*/
    for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])
        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)
        {
            flow[i]-=tmp;
            flow[i^1]+=tmp;
            /**正反向边容量改变*/
            return tmp;
        }
    return 0;
}
int Dinic_flow()
{
    int i,ret=0,delta;
    while(Dinic_bfs())
    {
        for(i=0; i<node; ++i)work[i]=head[i];
        while(delta=Dinic_dfs(src,oo))ret+=delta;
    }
    return ret;
}
int direct[4][2]= { {0,1},{1,0},{-1,0},{0,-1} };
int cnt,x,y,n,m;
struct note
{
    int value;
    int col;
    int index;
}aa[111][111];
int check(int x,int y)
{
    if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m)
        return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    int total,clr;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        cnt=0;
        total=0;
        memset(aa,0,sizeof(aa));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&aa[i][j].value);
                total+=aa[i][j].value;
                if((i+j)%2)
                    aa[i][j].col=1;
                else
                    aa[i][j].col=0;
                aa[i][j].index=++cnt;
            }
        prepare(cnt+2,0,cnt+1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                int u,w,c;
                u=aa[i][j].index;
                w=aa[i][j].value;
                c=aa[i][j].col;
                if(c==0)
                {
                    addedge(src,u,w);
                    for(int k=0;k<4;k++)
                    {
                         x=i+direct[k][0];
                         y=j+direct[k][1];
                         if(check(x,y))
                         {
                             int v=aa[x][y].index;
                             addedge(u,v,oo);
                         }
                    }
                }
                else if(c==1)
                {
                    addedge(u,dest,w);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",total-Dinic_flow());
    }
    return 0;//
}