【NOI2005】月下柠檬树

【NOI2005】月下柠檬树

【题目描述】

李哲非常非常喜欢柠檬树，特别是在静静的夜晚，当天空中有一弯明月温柔地照亮地面上的景物时，他必会悠闲地坐在他亲手植下的那棵柠檬树旁，独自思索着人生的哲理。

李哲是一个喜爱思考的孩子，当他看到在月光的照射下柠檬树投在地面上的影子是如此的清晰，马上想到了一个问题：树影的面积是多大呢？李哲知道，直接测量面积是很难的，他想用几何的方法算，因为他对这棵柠檬树的形状了解得非常清楚，而且想好了简化的方法。

李哲将整棵柠檬树分成了n 层，由下向上依次将层编号为1,2,…,n。从第1到n-1 层，每层都是一个圆台型，第n 层(最上面一层)是圆锥型。对于圆台型，其上下底面都是水平的圆。对于相邻的两个圆台，上层的下底面和下层的上底面重合。第n 层(最上面一层)圆锥的底面就是第n-1 层圆台的上底面。所有的底面的圆心(包括树顶)处在同一条与地面垂直的直线上。李哲知道每一层的高度为h1,h2,…,hn，第1 层圆台的下底面距地面的高度为h0，以及每层的下底面的圆的半径r1,r2,…,rn。李哲用熟知的方法测出了月亮的光线与地面的夹角为alpha。

为了便于计算，假设月亮的光线是平行光，且地面是水平的，在计算时忽略树干所产生的影子。李哲当然会算了，但是他希望你也来练练手。

【输入】

文件的第1行包含一个整数n 和一个实数alpha，表示柠檬树的层数和月亮的光线与地面夹角(单位为弧度)。
第2行包含n+1个实数h0,h1,h2,…,hn，表示树离地的高度和每层的高度。
第3行包含n个实数r1,r2,…,rn，表示柠檬树每层下底面的圆的半径。
上述输入文件中的数据，同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。
输入的所有实数的小数点后可能包含1至10位有效数字。

【输出】

输出1个实数，表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。

【输入样例】

2 0.7853981633
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00

【输出样例】

171.97

【数据范围】

1≤n≤500，0.3<alpha<π/2，0<hi≤100，0<ri≤100。

10%的数据中，n=1。

30%的数据中，n≤2。

60%的数据中，n≤20。

100%的数据中，n≤500。

【题解】

因为是平行投影，所以每个圆面投下来形状面积都没改变，那就可以先利用alpha的三角函数值把每个圆搬到x轴上，再依次连接相邻两个圆的外公切线，最顶端的三角形可以处理为一个半径为0的圆，然后就得到一个这样的图：

（图不是我画的0.0借用一下望原谅）

这个图形是轴对称的，只用求出上半部分面积就可以了。由于图形是连续的不规则曲线，所以考虑用自适应Simpson算法。Simpson公式是牛顿-科斯特公式的特殊情况，很多地方都能查到，此处不再赘述。在求某一点的函数值（这一点对应曲线上值）时，可以枚举每个圆和每条公切线段，在所有覆盖此点的圆/公切线段上这点对应的值中，最大值就是其函数值了。

公切线与圆的交点需要预处理出来，这里用到初中数学的相似，画一下就出来了。

【代码】

时间复杂度真心算不来0.0或许是精度关系有一个点跑了0.6s……

【NOI2005】月下柠檬树#代码