【NOI2009】植物大战僵尸

【NOI2009】植物大战僵尸

【题目描述】

Plants vs. Zombies（PVZ）是最近十分风靡的一款小游戏。Plants（植物）和Zombies（僵尸）是游戏的主角，其中：Plants防守，而Zombies进攻。该款游戏包含多种不同的挑战系列，比如Protect Your Brain、Bowling等等。其中最为经典的，莫过于玩家通过控制Plants来防守Zombies的进攻，或者相反地由玩家通过控制Zombies对Plants发起进攻。
现在，我们将要考虑的问题是游戏中Zombies对Plants的进攻，请注意，本题中规则与实际游戏有所不同。游戏中有两种角色，Plants和Zombies，每个Plant有一个攻击位置集合，它可以对这些位置进行保护；而Zombie进攻植物的方式是走到植物所在的位置上并将其吃掉。
游戏的地图可以抽象为一个N行M列的矩阵，行从上到下用0到N-1编号，列从左到右用0到M-1编号；在地图的每个位置上都放有一个Plant，为简单起见，我们把位于第r行第c列的植物记为Pr，c。
Plants分很多种，有攻击类、防守类和经济类等等。为了简单的描述每个Plant，定义Score和Attack如下：

Score[Pr，c]：Zombie击溃植物Pr，c可获得的能源。若Score[Pr，c]为非负整数，则表示击溃植物Pr，c可获得能源Score[Pr，c]，若为负数表示击溃Pr，c需要付出能源-Score[Pr，c]。

Attack[Pr，c]：植物Pr，c能够对Zombie进行攻击的位置集合。

Zombies必须从地图的右侧进入，且只能沿着水平方向进行移动。Zombies攻击植物的唯一方式就是走到该植物所在的位置并将植物吃掉。因此Zombies的进攻总是从地图的右侧开始。也就是说，对于第r行的进攻，Zombies必须首先攻击Pr，M-1；若需要对Pr，c（0<=c<M-1）攻击，必须将Pr，M-1，Pr，M-2，…，Pr，c+1先击溃，并移动到位置（r，c）才可进行攻击。
在本题的设定中，Plants的攻击力是无穷大的，一旦Zombie进入某个Plant的攻击位置，该Zombie会被瞬间消灭，而该Zombie没有时间进行任何攻击操作。因此，即便Zombie进入了一个Plant所在的位置，但该位置属于其他植物的攻击位置集合，则Zombie会被瞬间消灭而所在位置的植物则安然无恙（在我们的设定中，Plant的攻击位置不包含自身所在位置，否则你就不可能击溃它了）。
Zombies的目标是对Plants的阵地发起进攻并获得最大的能源收入。每一次，你可以选择一个可进攻的植物进行攻击。本题的目标为，制定一套Zombies的进攻方案，选择进攻哪些植物以及进攻的顺序，从而获得最大的能源收入。

【输入】

输入文件中的第一行为两个整数N，M，分别表示地图的行数和列数。
接下来的N×M行，描述了每个位置上植物的信息。其中：第r×M+c+1行按照如下格式给出植物Pr，c的信息：第一个整数为Score[Pr，c]，第二个整数为集合Attack[Pr，c]中的位置个数w，接下来为w个位置信息（r'，c'），表示Pr，c可以攻击位置第r'行第c'列。

【输出】

输出文件中仅一行为一个整数，表示可以获得的最大能源收入。
注意：你也可以选择不进行任何攻击，这样能源收入为0。

【输入样例】

3 2
10 0
20 0
-10 0
-5 1 0 0
100 1 2 1
100 0

【输出样例】

25

【数据范围】

对于20%的数据，满足：1<=N，M<=5；
对于40%的数据，满足：1<=N，M<=10；
对于100%的数据，满足：1<=N<=20，1<=M<=30，-10000<=Score<=10000。

【题解】

依赖关系已经说得很明了了，所以不难想到是求最大权闭合图。不过这道题有些地方有不太容易发现的陷阱。

一是建图，除了给出的依赖关系以外，还要注意在右侧的Plants对在左侧的Plants有天然的保护，它们之间也应该连边。

二是这道题可能出现环，而根据题意是无论如何也不能选择环的，因此建好图后要舍弃所有环，方法是拓扑排序。只要是不能拓扑出来的点就一定属于某一个环，源点和汇点参不参与拓扑均可。

三是要特别注意，拓扑排序使用的图和求解使用的图是不一样的，仔细想想，在拓扑排序中应该由保护者指向被保护者，但求解时应该由被保护者指向保护者。

大致说说建图吧，虚拟一个源点与所有正点权的点相连，边权为点权，虚拟一个汇点与所有负点权的点相连，边权为点权的绝对值。点与点之间的边边权为INF，方向上文已经解释过了。可以证明这张图中的每一个割都对应一种方案，用正点权之和减去最小割就是最大能源收入了。

【代码】

数据范围很弱，基本是在处理环上卡程序，最大流算法就随意了，我使用的是Dinic算法。

【NOI2009】植物大战僵尸#代码