UVa 1218：Perfect Service（DP）_uva1218 perfect service算法入门经典-优快云博客

本文介绍了一种使用树形动态规划方法来解决特定服务器部署问题的算法。问题背景为在一个由多台机器构成的树状网络中，合理配置服务器以确保每台非服务器机器都与至少一台服务器相连，目标是最小化服务器数量。文章提供了详细的DP状态定义及转移方程，并附带了完整的C++代码实现。

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题目链接：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=847&page=show_problem&problem=3659

题意：有n $(n \le 10000)$ 台机器形成树形结构。要求在其中一些机器上安装服务器，使得每台不是服务器的计算机恰好和一台服务器计算机相邻。求服务器的最少数量。（本段摘自《算法竞赛入门经典（第2版）》

分析：
树形DP。 $dp[u][0]$ 表示u是服务器，则每个子结点可以是服务器也可以不是。 $dp[u][1]$ 表示u不是服务器，但u的父亲是服务器，这意味着u的所有子结点都不是服务器。 $dp[u][2]$ 表示u和u的父亲都不是服务器。这意味着u恰好有一个儿子是服务器。 $dp[u][0]=sum(min(dp[v][0], dp[v][1]))+1, dp[u][1]=sum(dp[v][2]), dp[u][2] = min(dp[u][1] - dp[v][2] + dp[v][0])$ 。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

const int maxn = 10000 + 5, INF = 10000000 + 5;

int n, x, y;
int dp[maxn][3];
vector< int > sons[maxn];

int DP(int u, int k, int f)
{
    if (dp[u][k] >= 0)
        return dp[u][k];
    if (k == 0)
        dp[u][k] = 1;
    else if (k == 1)
        dp[u][k] = 0;
    else
        dp[u][k] = INF;
    for (int i = 0; i < sons[u].size(); ++i)
    {
        int v = sons[u][i];
        if (v == f)
            continue;
        if (k == 0)
            dp[u][k] += min(DP(v, 0, u), DP(v, 1, u));
        else if (k == 1)
            dp[u][k] += DP(v, 2, u);
        else
            dp[u][k] = min(dp[u][k], DP(u, 1, f) - DP(v, 2, u) + DP(v, 0, u));
        if (dp[u][k] > INF)
            dp[u][k] = INF;
    }
    return dp[u][k];
}

int main()
{
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            sons[i].clear();
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            sons[x].push_back(y);
            sons[y].push_back(x);
        }
        printf("%d\n", min(DP(1, 0, -1), DP(1, 2, -1)));
        scanf("%d", &x);
    }
    return 0;
}