级数——一种简单的理解方式(作者_nwsuafhua）

级数：
给定一个序列

$$\bbox u_1,u_2,u_3...,u_n...$$
则$\sum_{n=1}^\infty u_n$称为无穷级数，记为：
$$\bbox \sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+...+u_n+...$$
级数分为：
常数项级数（正项级数，交错级数，任意级数） 函数项级数（幂级数，傅里叶级数）

下面通过等比数列（几何序列geometric sequence)和极限理解级数：
给定一个等比数列

$$\bbox aq^0,aq^1,aq^2...,aq^{n-1},... \qquad |q|<1$$
该数列的前n项和为$S_n$
$$\bbox S_n=\frac{a-aq^n}{1-q}=\frac{a}{1-q}-\frac{a}{1-q}.q^n$$
由于$|q|<1$ 对$S_n$取极限
$$\bbox \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(\frac{a}{1-q}-\frac{a}{1-q}.q^n)=\color{red}{\frac{a}{1-q}} \qquad |q|<1$$
是否还记得一个重要的幂级数展开式：
$$\bbox \sum_{n=0}^\infty x^n=x^0+x^1+x^2+...+x^n+...=\color{red}{\frac{1}{1-x}} \qquad |x|<1$$
根据等比数列和极限理解级数是不是很容易了？也就是说级数就是$\color{red}{数列}$或$\color{red}{函数序列}$的前n项和。n称为半径（形象的理解一下）。