【codeforces】gym 101138 K. The World of Trains【前缀和优化dp】

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013368721/article/details/52985109

本文介绍了一种使用横纵及斜向前缀DP方法解决K.TheWorldofTrains问题的算法，通过记录不同方向的前缀和来降低复杂度至O(n²)，适用于特定条件下的路径计数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

记录一个横着的前缀dp和以及斜着的前缀dp，复杂度 $O(n^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

typedef pair < int , int > pii ;
typedef long long LL ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 3500 ;
const int mod = 1e9 + 7 ;

int dp[MAXN][MAXN] , f[MAXN][MAXN] , g[MAXN][MAXN] ;
int n , d , t , k ;

int pm ( int x , int n ) {
    LL res = 1 ;
    while ( n ) {
        if ( n & 1 ) res = res * x % mod ;
        x = 1LL * x * x % mod ;
        n >>= 1 ;
    }
    return res ;
}

void solve () {
    if ( k == 1 ) {
        if ( t + d - 1 == n ) printf ( "1\n" ) ;
        else printf ( "0\n" ) ;
        return ;
    }
    clr ( dp , 0 ) ;
    clr ( f , 0 ) ;
    clr ( g , 0 ) ;
    dp[0][0] = 1LL * k * pm ( k - 1 , mod - 2 ) % mod ;
    f[0][0] = 0 ;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
        for ( int j = 0 ; j <= t ; ++ j ) {
            f[i][j] = ( f[i - 1][j] + dp[i - 1][j] ) % mod ;
            if ( i - d >= 0 ) f[i][j] = ( f[i][j] - dp[i - d][j] + mod ) % mod ;
            dp[i][j] = ( dp[i][j] + 1LL * ( k - 1 ) * f[i][j] ) % mod ;
            if ( i - d >= 0 && j ) {
                g[i][j] = ( g[i - 1][j - 1] + dp[i - d][j - 1] ) % mod ;
            }
            dp[i][j] = ( dp[i][j] + 1LL * ( k - 1 ) * g[i][j] ) % mod ;
        }
    }
    printf ( "%d\n" , dp[n][t] ) ;
}

int main () {
    while ( ~scanf ( "%d%d%d%d" , &n , &d , &t , &k ) ) solve () ;
    return 0 ;
}