01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子

转自：http://blog.youkuaiyun.com/mu399/article/details/7722810

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

好，至此我们解决了背包问题中最基本的0/1背包问题。等等，这时你可能要问， 我现在只知道背包能装入宝石的最大价值，但我还不知道要往背包里装入哪些宝石啊。嗯， 好问题！让我们先定义一个数组x，对于其中的元素为1时表示对应编号的宝石放入背包， 为0则不放入。让我们回到上面的例子，对于体积为5，4，3，价值为20，10，12的3个宝石 ，如何求得其对应的数组x呢？（明显我们目测一下就知道x={1 0 1}， 但程序可目测不出来）OK，让我们还是从状态说起。如果我们把2号宝石放入了背包， 那么是不是也就意味着，前3个宝石放入背包的最大价值要比前2个宝石放入背包的价值大， 即：d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具体的数字 （不知不觉中我们就用了不完全归纳法哈），当d(i, j)>d(i-1, j)时，x(i-1)=1;j=j-w[i];OK，

int j=C-1;
	for(int i=N-1;i>0;i--)
	{
		if(d[i][j]>d[i-1][j])
		{
			x[i]=1;
			j=j-w[i];
		}
	}
	if(d[0][j]>0)
		x[0]=1;

完整的程序：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=5;
 const int C=10;  
  int v[]={6,4,5,3,6},w[]={4,5,6,2,2};//下标从0开始  
  int x[N];  
  int d[N][C]={0};
void find()
{
	for(int j=0;j<C;j++)
	{
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			if(i==0)
			{
				if(w[0]>j)
					d[0][j]=0;
				else
					d[0][j]=v[0];
			}
			else if(j-w[i]<0)//剩余空间放不下当前的物品
				d[i][j]=d[i-1][j];
			else
				d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);
			
		}
	}
}

void main()
{
	
	find();
	int j=C-1;
	for(int i=N-1;i>0;i--)
	{
		if(d[i][j]>d[i-1][j])
		{
			x[i]=1;
			j=j-w[i];
		}
	}
	if(d[0][j]>0)
		x[0]=1;
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		if(x[i]==1)
			cout<<i<<' ';

	}
	cout<<endl;
	cout<<d[N-1][C-1]<<endl;
}