在从1到n的正数中1出现的次数

在从1到n的正数中1出现的次数

http://blog.youkuaiyun.com/ysu108/article/details/7952455

题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

两种方法，一种从1到n一个个的计算，另外一种是用递归的方法。还有第三种方法是编程之美上给出面的，最简单但是很不好分析，这里就不介绍了。重点说下递归的方法，

我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段，即1-1345和1346-21345。

先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10的4次方）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是8000次。从1346到21346一共是2万个数，统计这两万个数的后四位，一共8万个数，而这8万个数中0到9出现的概率是相同的，后四位一共有8000个1。

至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1345和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10的4次方（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10的4次方次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

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1. #include <iostream>  
2. #include <math.h>  
3. using namespace std;  
4.   
5. int numOf1(const char *a);  
6. int numOf1(int a);  
7.   
8. int main()  
9. {  
10.         char a[] = "1999";  
11.         int b = 1999;  
12.         cout<<numOf1(a)<<endl;  
13.         cout<<numOf1(b)<<endl;  
14. }  
15.   
16. int numOf1(const char *a)  
17. {  
18.         int sum = 0;  
19.         if(strlen(a) == 1)  
20.         {  
21.                 if(a[0] == '0')  
22.                         return 0;  
23.                 else  
24.                         return 1;  
25.         }  
26.         int len = strlen(a);  
27.         if(a[0] == '1')  
28.                 sum += (atoi(&a[1]) + 1); //最高位1出现的次数  
29.         else  
30.                 sum +=(int) pow(10, len-1);  
31.         sum += (a[0] - '0') * (len-1)*(int)pow(10, len-2);//除去最高位后剩下的部分1的个数  
32.         return sum + numOf1(&a[1]);  
33. }  
34.   
35. int numOf1(int a)  
36. {  
37.         int sum = 0;  
38.         for(int i=1; i<=a; i++)  
39.         {  
40.                 int num = i;  
41.                 while(num)  
42.                 {  
43.                         if(num%10 == 1)  
44.                                 sum ++;  
45.                         num /= 10;  
46.                 }  
47.         }  
48.         return sum;  
49. }