跳台阶

题目：一个台阶总共有 n 级，如果一次可以跳 1 级，也可以跳 2 级。

求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

我们把 n 级台阶时的跳法看成是 n 的函数，记为 f(n)。当n>2 时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳 1 级，此时跳法数目等于后面剩下的 n-1 台阶的跳法数目，即为 f(n-1)；另外一种选择是第一次跳 2 级，此时跳法数
目等于后面剩下的 n-2 级台阶的跳法数目，即为 f(n-2)。因此 n 级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+(f-2)。n=1时，只有一种跳法，f(n)=1;n=2时，f(n)=2。

             /            1                          n=1
f(n) =                 2                          n=2
            \   f(n-1) + f(n-2)                n>2

下面两种方法实现：

1、递归方法：从上往下计算，递归方法简单，但是要重复计算，很慢。

//递归，很慢，因为要重复计算。随n成指数级上涨
int f(int n)
{
	if(n==1)
		return 1;
	if(n==2)
		return 2;


	return f(n-1)+f(n-2);
	
}

2、非递归方法：从下往上计算，f(n)=f(n-1)+(f-2)即当前值只与前面两个历史值有关系，只要记录这两个历史值就行了。 时间复杂度是O(n)

//非递归。当前值=第前1个值+第前2个值,速度快，不需要重复计算
int f2(int n)
{
	if(n==1||n==2)
		return n;
	int fi=0,f1=2,f2=1;//fi代表f(n),f1代表f(n-1),f2代表f(n-2)
	for(int i=3;i<=n;i++)
	{
		fi=f2+f1;
		f2=f1;//更新f1，f2
		f1=fi;
	}
	return fi;
}

还有O(logn)的算法，详见http://blog.youkuaiyun.com/dadoneo/article/details/6776272  “ O(logn)时间复杂度求Fibonacci数列”

类似的题目：一个人上台阶可以一次上 1 个，2 个，或者 3 个， 问这个人上 n 层的台阶，总共有几种走法？

代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include <iostream>  
#include <bitset>
using namespace std;  


//递归，很慢，因为要重复计算。随n成指数级上涨
int f(int n)
{
	if(n==1)
		return 1;
	if(n==2)
		return 2;

	if(n==3)
		return 4;

	return f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);
	
}
//非递归。当前值=第前1个值+第前2个值,速度快，不需要重复计算
int f2(int n)
{
	if(n==1||n==2)
		return n;
	if(n==3)
		return 4;
	int fi=0,f1=4,f2=2,f3=1;//fi代表f(n),f1代表f(n-1),f2代表f(n-2),f3代表f(n-3)
	for(int i=4;i<=n;i++)
	{
		fi=f3+f2+f1;
		f3=f2;//更新f1，f2,f3
		f2=f1;
		f1=fi;
	}
	return fi;
}
int main()  
{  
	int n=0;
	cin>>n;
	while(n!=-1)
	{
		cout<<f2(n)<<endl;
		cout<<f(n)<<endl;
		cin>>n;
	}
    system("pause");  
}  </span>