线性空间,度量空间,赋范空间,线性赋范空间,内积空间,巴拿赫空间以及希尔伯特空间、拓扑空间

本文介绍了数学中的各种空间概念,包括距离、向量空间、度量空间、线性度量空间,进而讨论了范数、赋范空间、内积空间以及完备性在巴拿赫空间和希尔伯特空间中的作用。同时,提到了拓扑空间作为更广泛的概念,它弱化了距离的定义。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

1.  距离、向量空间、度量空间、线性度量空间

  距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等。

  距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性:

              1)元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。d(x,y)>=0  x=y时 d(x,y)=0

              2)A到B的距离等于B到A的距离。d(x,y)=d(y,x)

              3)满足三角不等式。d(x,y)<=d(x,c)+d(c,y)

        拥有距离的空间叫做度量空间

        线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求:

              1)交换律  x+y=y+x

              2)   结合律  (x+y)+z=x+(y+z)

              3)   零元素   x+0=x

              4)   负元素 在空间中每一个元素x,都有元素y,使得x+y=0

              5)   1x=x

              6)   k(lx)=(kl)x

              7)   (k+l)x=kx+lx

              8)   k(x+y)=kx+ky

        从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间,线性空间又叫向量空间。

        度量空间+线性结构⟶线性度量空间

2. 范数、赋范空间、度量空间与赋范空间的关系

        范数的概念,表示某点到空间零点的距离:

        1. ||x|| ≥0;
        2. ||ax||=|a|||x||;
        3. ||x+y||≤||x||+||y||。

  拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。

        赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间   

3. 内积、内积空间、欧几里得空间

  内积

        设K是实数域或复数域,H是K上线性空间,如果对H中任何两个向量x,y,都对应着一个数(x,y)∈K,满足条件:

             1.(共轭对称性)  

             2.(对第一变元的线性性)对任何x,y,z∈H及α,β∈K,有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).

             3.(正定性)对一切x∈H,有(x,x)≥0且(x,x)=0⇔x=0

         在范数的概念上加了角度限制条件。拥有内积的空间叫做内积空间内积空间一定是赋范空间

   有限维内积空间是欧几里得空间。欧几里得空间是一个定义了内积的实数域上的向量空间

4. 完备性、希尔伯特空间、巴拿赫空间

  集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性

  例如:有理数组成的一个集合{1,1.4,1.41,1.414,1.4142…},此集合极限为√2​,而√2​是无理数,不是有理数,即有理数不具备完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间,你从学校内的宿舍中开始一直往外走,当走不动停下来时(极限收敛),发现已经走出学校了(超出空间),不在学校范围内了(不完备了)。

        赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间

        内积空间(无限维)+完备性⟶ 希尔伯特空间

        换个角度来理解函数空间,如泰勒展开,是将f(x)表示为{{x^{n}}}的线性组合的形式;比如傅里叶展开,是将f(x)表示成无限三角函数线性组合的形式。而{{x^{n}}}或无限维的三角函数,也叫作一个函数空间的基。

5.拓扑空间

以上都是距离或者线性空间的基础上逐渐增加条件,那如果尝试减少条件呢?比如不要角度的概念,甚至不要距离的概念。比如“连续”的定义:对所有的\forall \xi >0, \exists \delta >0, |x-x_{0}|<\xi\Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\delta即为连续。或者写成x_{0}\in D\subset R, f(O(x_{0},\xi )\cap D)\subset O(f(x_{0}),\delta )

换句话说,拓扑是元素X与其规则\tau合起来。所以,拓扑是弱化了的距离,能描述的范围最广泛。

距离⟶范数⟶内积
范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性+无限维⟶希尔伯特空间
内积空间+有限维⟶欧几里德空间
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间

参考:

https://www.cnblogs.com/keye/p/10748980.html

https://blog.youkuaiyun.com/shijing_0214/article/details/51052208

https://blog.youkuaiyun.com/qq_34099953/article/details/84190508

评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值