数据结构之二叉树

基础概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数

叶节点或终端节点：度为零的节点； 

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层 

树的高度或深度：树中节点的最大层次；

树的类型：

1、满二叉树：一棵深度为k，且有2^k-1 (2的k次方减一)个节点称之为满二叉树 (也称完美二叉树，就是节点全有，只有度为2和0的节点)

2、完全二叉树： 如上图描述，一一对应，但是可以有缺漏（去除满二叉树黄色部分，可以少右子节点，不能少左子节点）

3、二叉搜索树： 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值，非空右子树的所有键值大于其根节点的键值，左右子树都是二叉搜索树

      搜索：  最小值 直接遍历到最左边的叶节点就行，最大值同理 

      插入      利用搜索算法用节点对比要插入的值，遍历找到要插入的位置插入即可  

        删除   ：

层的最大节点和树的最大节点数：

1 、每一层最大节点数为 2的层-1次方   比如（根节点为1  那根节点最大的节点数为 2^(1-1) = 1   第二层则为 2^(2-1) = 2）

2、深度为k的二叉树最大节点总数为2的k次方-1（1+2^1+2^2+2^(k-1) = 2^k -1 ,  "2的k次方-1"） 等比数列求和

任何非空二叉树，若N0表示叶节点个数，n2是度为2的非叶节点个数，那么两者满足关系 n0 = n2+1，解析如下：

  n0+n1+n2-1 = 0*n0 + 1*n1+2*n2               ≈      n0+n2-1 = 2*n2       ≈         n0-1 = n2           ≈               n0 = n2+1

（各个节点的边，连接每个节点的边只有一条，根节点没有，所以-1） = （节点延伸出来的边数 n0 0个边 ，n1 1个边，n2 2个边）

 

节点的父子关系：

节点序号为i

非根节点的父节点的序号是[i / 2 ]

节点的左孩子节点的序号为 2i，右孩子节点的序号为2i+1

 

二叉树的遍历方式，如下： 

（1）前序遍历，首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。简记根-左-右。 
（2）中序遍历，首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。简记左-根-右。 
（3）后序遍历，首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。简记左-右-根。
  (4)   层序遍历    利用队列    首先读取当前节点数据，然后判断是否有左右子树，有则加到队列中。循环。

 

例子思想：

找所有叶节点： 在遍历算法中检测 左右子节点是否都为空

求树的高度：  递归 求左子树和右子树的深度，进行对比，取较大的深度，返回给上一层进行保存
 

参考：http://www.icourse163.org/course/ZJU-93001