最小平均等待时间

                                                                                                最小平均等待时间
 
                                                                                       题目描述
有n个顾客同时在等待一项服务,顾客i需要的服务时间为ti,1≤i≤n。要安排一个服务次序使得平均等待时间最小(平均等待时间是n个顾客等待服务时间的总和除以n)。请编写算法,计算最小平均等待时间。
输入
第一行为测试用例个数m,m≤1000。 第二行开始为m个测试用例,每个测试用例由一组空格间隔的整数组成,第一个整数n为顾客的人数,后面n个整数为每个顾客需要的服务时间t,0<m≤1000,0<t≤1000。
输出
对每个测试用例,输出最小平均等待时间的整数部分(舍去小数部分),每个输出占一行。
样例输入
2
5 15 9 3 14 3
10 13 3 12 9 6 9 1 91 44 32
样例输出
10

36

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    int m;
    int sum;
    int x[1020];
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>m;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>x[i];
        }
        sort(x,x+m);
        sum=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            sum+=x[j]*(m-1-j);
        }
        cout<<sum/m<<endl;
    }
    return 0;
}

即是由小到大排序,先进行短时间任务,然后分别乘以等待个数,利用循环即可

<think>好的,我需要解决用户的问题:如何通过编程实现计算最优服务次序以最小平均等待时间。输入是n个顾客及其服务时间ti,输出是最小平均等待时间。用户还提供了几个引用,我需要参考这些内容。 首先,我得理解问题。根据引用[1],这个问题的最优解是将顾客服务时间从小到大排序,这样平均等待时间最小。这个思路叫做最短作业优先(SJF),属于贪心算法。用户提到的引用中的几个代码示例也使用了排序的方法,比如使用sort函数对服务时间进行排序。 那如何计算平均等待时间呢?根据引用[1]和引用[3],每个顾客等待时间是其之前所有顾客服务时间的总和。例如,第一个顾客等待时间为0,第二个等待时间为t1,第三个为t1+t2,依此类推。总的等待时间就是所有顾客等待时间的总和,再除以n得到平均值。 接下来要考虑编程实现。首先输入n和各个ti,然后将ti排序,从小到大。之后计算每个顾客等待时间累加总和,最后除以n。需要注意数据类型的处理,尤其是当ti很大时,总和可能会溢出,所以可能需要用长整型或更大的数据类型。 看引用中的代码,比如引用[3]和[4],都用了类似的方法。例如,引用[4]的代码将数组排序后,累加每个ti乘以(n-i-1),因为后面的每个顾客都需要等待当前这个ti时间。例如,排好序的数组a[0],a[1],...,a[n-1],总等待时间是a[0]*(n-1) + a[1]*(n-2) + ... + a[n-2]*1 + a[n-1]*0。因为第一个顾客被n-1个人等待,第二个被n-2个等等。或者,另一种方式是将每个顾客自身的等待时间累加,比如第i个顾客等待时间是前面i个服务时间的总和。然后总等待时间是所有顾客等待时间之和。这两种方法其实是等价的,比如总和可以表示为sum_{i=1到n} sum_{j=1到i-1} t_j,等于sum_{j=1到n} t_j*(n-j)。因为每个t_j会被后面n-j个顾客等待。 所以,在代码中,可以先排序,然后遍历每个ti,累加ti乘以剩余的数量。例如,排序后的数组,第i个元素(从0开始)对应的贡献是ti*(n-i-1)。或者,像引用[4]中的循环,sum += a[i]*(n-i),因为i从0到n-1,所以n-i-1可能对应到数组的索引? 需要仔细看引用中的代码。比如,在引用[4]中,代码是: for(int i=0;i<n;i++) { sum += a[i]*(n-i); } 这里,当i=0时,a[0]乘以n-0,即n次?这可能有问题,比如当排序后,第一个顾客服务时间是a[0],之后每个顾客都要等待他,所以总共有n-1顾客需要等待a[0]。比如,假设n=3,排序后的数组是a0, a1, a2。那么总等待时间应该是: 顾客0的等待时间:0(他自己不需要等待顾客1等待时间:a0 顾客2的等待时间:a0 + a1 总和是0 + a0 + (a0 +a1) = 2a0 +a1. 而按照引用[4]的算法,sum是a0*(3-0) + a1*(3-1) +a2*(3-2) =3a0 +2a1 +1a2。这明显比正确总和多。这说明可能存在理解错误? 这里可能有矛盾。或者可能我理解错了问题。或者用户的引用中的代码可能有错误? 这时候需要仔细分析问题。根据问题描述,平均等待时间是所有顾客等待时间的总和除以n。每个顾客等待时间是从开始到被服务时间,即他们开始服务前的等待时间总和。例如,第一个顾客开始服务时间是0,等待时间为0;第二个顾客开始服务时间是第一个顾客服务时间,即t0,所以他的等待时间是t0;第三个顾客开始于t0 +t1,所以他的等待时间是t0 +t1,依此类推。总等待时间是0 + t0 + (t0 + t1) + ... + (t0 + t1 + ... + tn-2)。即总和等于Σ (i从0到n-1) ti * (n - i -1)。例如,对于i=0(第一个顾客服务时间),会被后面n-1顾客等待,所以贡献ti*(n-1-0)。而最后一个顾客(i=n-1)不会被任何人等待,所以贡献0。 所以总和应为sum = sum_{i=0}^{n-1} ti * (n - i -1)。例如,当n=3时,sum是 t0*(2) + t1*(1) + t2*(0)。而总平均等待时间是这个sum除以3。 那在引用[4]的代码中,sum的计算是sum += a[i]*(n-i),即对于i从0到n-1,每个a[i]乘以(n-i)。例如,当i=0时,乘以n,i=1时乘以n-1,这样总和会比正确值多出a0*(1) +a1*(0) + ...?这可能有问题。比如当n=3时,引用[4]的循环计算的是a0*3 +a1*2 +a2*1,而正确的总和应该是a0*2 +a1*1。这显然不同。这说明引用[4]的代码可能有错误? 或者可能我哪里理解错了问题? 或者问题中的平均等待时间是否是服务完成时间的总和?例如,每个顾客等待时间是其开始服务时间,而服务完成时间是开始时间 + 服务时间。但问题中明确说明平均等待时间等待服务时间的总和除以n,即每个顾客等待时间是从到达(假设同时到达)到开始服务时间。此时,总等待时间是正确的,即每个顾客等待时间等于前面所有顾客服务时间之和。 例如,如果顾客按顺序t0, t1, t2,则他们的等待时间是0,t0,t0+t1。总和是0 + t0 + (t0+t1) = 2t0 +t1。而按公式sum_{i=0}^{n-1} ti*(n-i-1),当n=3时,t0*(3-0-1)=2t0,t1*(3-1-1)=t1*1,t2*(3-2-1)=0,总和是2t0 +t1。正确。 而引用[4]中的代码,计算的是sum +=a[i]*(n-i)。对于n=3,这会得到3t0 +2t1 +1t2,这显然比正确的总和多出t0 +t1 +t2。这说明该代码可能错误? 那这里需要仔细检查用户提供的引用内容。例如,引用[4]中的代码可能正确吗? 例如,引用[4]的代码: for(int i=0;i<n;i++) { sum += a[i]*(n-i); } 假设排序后的数组是按从小到大排列的,那么对于每个顾客i来说,他的服务时间是a[i],而他在队列中的位置是第i位。假设总共有n个顾客,当处理到第i个顾客时,他后面还有n-i-1顾客,每个顾客都需要等待他的服务时间。所以,总等待时间中,这个顾客的a[i]会被后面n-i-1顾客等待,因此总贡献是a[i]*(n-i-1)。比如,在n=3的情况下,i=0的顾客贡献a0*2,i=1贡献a1*1,i=2贡献0。总和是2a0 +a1. 但引用[4]中的代码却计算a[i]*(n-i)。此时,当n=3,i=0时,a0*3;i=1时,a1*2;i=2时,a2*1。总和是3a0 +2a1 +a2。这显然和正确的公式不符。这说明该代码可能有错误? 那为什么用户提供的引用中的代码会这样写?或者可能我的理解有误? 这时候需要再仔细看问题描述。问题描述中的平均等待时间是否是服务完成时间的总和?或者是否是每个顾客等待时间(开始等待时间)的总和? 根据引用[1]中的描述,“第n号顾客等待时间是其之前所有顾客办理业务的时间和,1顾客等待时间为0。”这说明,每个顾客等待时间是前面所有顾客服务时间之和。所以总等待时间是sum_{i=1到n} (sum_{k=1到i-1} t_k)。这等于sum_{k=1到n-1} t_k*(n -k)。例如,第1顾客等待0,第2个等待t1,第3个等待t1 + t2,……第n个等待t1+..+t_{n-1}。总和等于t1*(n-1) + t2*(n-2) + ... + t_{n-1}*1。这与之前的分析一致。 假设在代码中,排序后的数组是升序排列,即t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn。那么总等待时间是sum_{i=1到n-1} ti*(n-i)。例如,当i从0开始,数组是升序排列,那么总等待时间是sum_{i=0到n-2} a[i]*(n-1 -i)。比如,当n=3时,i=0对应a[0]*(2), i=1对应a[1]*(1),i=2不参与,因为n-2=1。所以总和是a0*2 +a1*1. 但引用[4]中的代码是sum +=a[i]*(n-i),当i从0到n-1,所以对于n=3,总和是a0*3 +a1*2 +a2*1。这明显比正确值大。这说明这个代码是错误的? 或者,可能用户的问题中的平均等待时间是否考虑了服务点的数量?例如,在引用[2]中,当有s个服务点时,每个服务点的排队情况不同。而用户当前的问题是否和s有关? 用户现在的问题是关于单服务点的情况吗?根据用户的问题描述,输入是n个顾客,每个顾客服务时间ti,输出最小平均等待时间。根据引用[1],这是单服务点的情况,而引用[2]是多个服务点的扩展。用户当前的问题可能只是单服务点的情况。 那回到引用中的代码,引用[3]中的代码是否正确? 引用[3]的代码中,计算每个顾客等待时间: b[0] =0; for(int i=0;i<n;i++){ b[i+1] =b[i] +a[i]; } 然后总等待时间是sum(b[i]),从i=0到n。例如,假设有3个顾客,排序后的a数组是a0,a1,a2。则: b[0]=0 b[1] =0 +a0 → 第一个顾客等待时间 b[2] =a0 +a1 → 第二个顾客等待时间 b[3] =a0 +a1 +a2 → 第三个顾客等待时间等待时间是b[1] +b[2] +b[3} =a0 + (a0+a1) + (a0+a1+a2) =3a0 +2a1 +a2。而正确的总等待时间应该是0 +a0 + (a0+a1) =2a0 +a1。这说明该代码可能错误? 或者,可能这个代码中的ans计算方式有问题? 引用[3]中的代码: for(int i = n; i >=0; i--) { ans += b[i]; } 这里,假设n=3,则i从3到0,ans是b[3] +b[2] +b[1} +b[0}。而正确的总等待时间是b[1] +b[2} +b[3}(因为三个顾客等待时间分别是b[1],b[2},b[3})?或者顾客的索引可能不同? 这可能存在混淆。比如,假设顾客的索引是0到n-1,那么他们的等待时间依次是b[1]到b[n}。总共有n个等待时间。所以总和应该是sum(b[1]到b[n})。而代码中的循环是i从n到0,ans加上了所有b[i},即包括b[0}。这会导致总和中多加了b[0}的0,这并不影响,因为ans初始化为0,然后加上b[0}的0,但其他项正确吗? 例如,当n=3时,sum(b[0}到b[3})是0 +a0 + (a0+a1) + (a0+a1+a2) =3a0 +2a1 +a2。正确的总等待时间应该是a0 + (a0+a1) =2a0 +a1。这说明引用[3]中的代码计算结果错误? 这说明用户的引用中的代码可能有错误? 这可能是一个问题。那我需要找到正确的实现方式。 正确的总等待时间应该是每个顾客等待时间之和。顾客服务时间从小到大排序,第一个顾客等待时间为0,第二个等待t0,第三个等待t0 +t1,依此类推。总等待时间为0 +t0 + (t0 +t1) + ... + (t0 +t1 + ... + t_{n-2} ) = sum_{i=0}^{n-2} (n-1 -i) * t_i。例如,i=0的t0被计算了n-1次(每个后面的顾客都要等他),i=1的t1被计算了n-2次,依此类推,直到i=n-2的t_{n-2}被计算1次。最后一个顾客i=n-1等待时间是前面的总和,但不会被任何后面的顾客等待,所以他的t_{n-1}不参与贡献。所以总和等于sum_{i=0}^{n-1} t_i * (n-1 -i)。或者,可以转化为sum_{i=1}^n t_{i-1} * (n -i)。例如,对于i从1到n,每个t_{i-1}乘以(n-i)次。这可以通过遍历数组,每个元素乘以(n-1 -i)的索引,或者另一个方式。 例如,在Python中,如果排序后的列表是sorted_times,那么总等待时间可以这样计算: total = 0 for i in range(len(sorted_times)-1): total += sorted_times[i] * (len(sorted_times) - i -1) 或者,更高效的方式是: total = sum(t * (n - idx -1) for idx, t in enumerate(sorted_times[:-1])) 因为最后一个元素不需要乘以任何数,其贡献为0。 或者,另一种计算方式是,每个元素乘以剩下的元素数量,例如: 当遍历到第i个元素(从0开始),剩下的元素数量是n - i -1,即后面的顾客人数。所以,该元素的贡献是t_i * (n -i -1)。这样总和就是所有元素的贡献之和。 所以,正确的总和应该这样计算。例如,在代码中: sort(times) total_wait = 0 for i in 0 to n-1: total_wait += times[i] * (n - i -1) average = total_wait /n 这样才是正确的。 那现在看用户提供的引用中的代码是否正确: 引用[4]中的代码是: sum += a[i]*(n-i) 其中,假设数组已经排序,那么每个a[i]被乘以(n-i)。假设数组是升序排列的,那么i从0到n-1,每个a[i]乘以n-i。例如,对于n=3,i=0时乘以3-0=3,i=1时乘以2,i=2时乘以1。总和是3a0+2a1+a2。但正确的总和应该是a0*2 +a1*1。所以这显然错误。 这说明引用[4]的代码是错误的。而用户的问题需要正确的实现方式。那问题出在哪里? 可能用户提供的引用中的代码是否处理了其他问题?比如,可能引用中的代码是计算所有顾客的完成时间之和,而不是等待时间之和? 例如,完成时间是指每个顾客等待时间加上自己的服务时间。比如,对于顾客i来说,完成时间等待时间 + ti。如果问题是要求平均完成时间,那么总完成时间之和等于总等待时间之和加上所有ti之和。例如,总完成时间是sum(等待时间) + sum(ti)。平均完成时间是(总等待时间 + sum(ti))/n。此时,如果引用中的代码是计算总完成时间之和,那么总和会是正确的。例如,当每个顾客的完成时间是前面所有服务时间之和加上自己的服务时间,所以总完成时间之和等于sum_{i=0}^{n-1} (sum_{j=0}^i t_j) = sum_{i=0}^{n-1} t_i*(n-i)。例如,对于n=3,总完成时间是(t0) + (t0 +t1) + (t0 +t1 +t2) = 3t0 +2t1 +t2。这正是引用[4]中计算的总和。这可能意味着用户的问题可能有不同的定义,或者引用中的代码处理的是总完成时间而非等待时间? 这可能是一个关键点。需要回到问题描述。根据引用[1]的问题描述,“平均等待时间是 n 个顾客等待服务时间的总和除以 n”,而每个顾客等待时间是其开始前的等待时间。所以,总等待时间不包含自身的服务时间。例如,总完成时间的总和是总等待时间加上总服务时间。而用户的问题中的平均等待时间只是总等待时间平均。 因此,正确的计算方式应该是总等待时间等于sum_{i=0}^{n-1} t_i*(n-i-1)。而引用[4]的代码中的sum是sum_{i=0}^{n-1} t_i*(n-i) = sum_{i=0}^{n-1} t_i*(n-i-1 +1) = sum正确值 + sum(t_i)。此时,总完成时间等于sum正确值 + sum(t_i)。所以,如果引用[4]的代码计算的是总完成时间,那么它的结果是对的,但问题中的需求是总等待时间。所以这说明该代码可能错误。 这可能导致用户的引用中的某些代码是错误的,而用户可能需要正确的实现。 现在回到用户的问题,用户需要正确的实现。那正确的实现方式应该是排序后,计算每个t_i乘以(n-i-1),然后总和除以n。 例如,在Python中: def minimal_average_waiting_time(service_times): service_times.sort() n = len(service_times) total_wait = 0 for i in range(n): # 每个顾客等待时间是前面所有顾客服务时间之和 # 所以总等待时间是sum_{i=0}^{n-1} service_times[i] * (n - i -1) total_wait += service_times[i] * (n - i -1) return total_wait / n 或者更高效的方式: total_wait = sum(t * (n - i -1) for i, t in enumerate(service_times)) 这样就能正确计算总等待时间。然后平均就是除以n。 现在,需要验证这个逻辑是否正确。例如,假设输入是三个顾客服务时间为3,1,2。排序后是1,2,3。总等待时间应该是: 第一个顾客等待0 → 不计算。 第二个顾客等待1 → 贡献1. 第三个顾客等待1+2=3 → 贡献3. 总等待时间是0+1+3=4 → 平均是4/3 ≈1.333. 而按照上述代码,计算每个t_i*(n-i-1): i=0:1*(3-0-1) =1*2=2 i=1:2*(3-1-1)=2*1=2 i=2:3*(3-2-1)=3*0=0 总和是4 →平均4/3,正确。 而引用[4]的代码中的sum是每个t_i*(n-i): i=0:1*(3-0)=3 i=1:2*(3-1)=4 i=2:3*(3-2)=3 →总和3+4+3=10 →平均10/3≈3.333。这显然错误。所以这说明正确的代码应该是每个元素乘以(n-i-1),而非(n-i)。 因此,正确的代码应该像这样。 现在需要检查用户提供的其他引用是否正确。例如,引用[3]的代码: 在引用[3]中,计算了b数组,其中b[i+1] =b[i] +a[i]。然后总等待时间ans是sum(b[0]到b[n}?例如,当n=3时: b[0]=0 b[1]=0+a[0] =a0 →第一个顾客等待时间 b[2}=a0 +a1 →第二个顾客等待时间 b[3} =a0 +a1 +a2 →第三个顾客等待时间 然后ans是sum(b[0}到b[3})=0 +a0 + (a0+a1) + (a0+a1+a2) =3a0 +2a1 +a2。平均是(3a0 +2a1 +a2)/3。而正确的总等待时间应该只是a0 + (a0+a1) =2a0 +a1。所以该代码的错误在于计算了所有b数组的总和,而实际上应该只计算前n个顾客等待时间总和。正确的总和应该是sum(b[1}到b[n}),因为b[i}表示第i个顾客等待时间(i从1到n)。例如,当n=3时,总和是b[1}+b[2}+b[3} =a0 + (a0+a1) + (a0+a1+a2). 但根据问题定义,每个顾客等待时间应该是他们开始前的等待时间,也就是除了自己的服务时间。所以第三个顾客等待时间应该是a0+a1,而他的服务时间是 a2。因此,总等待时间应为b[1} +b[2} =a0 + (a0+a1) =2a0 +a1。但引用[3]的代码计算了包括b[3}的总和,即包括了服务完成后的总时间。这说明该代码是错误的? 这表明用户提供的引用中的某些代码存在错误,这可能影响用户的实现。 所以正确的代码应该如何? 正确的算法步骤是: 1. 将服务时间数组按升序排序。 2. 初始化总等待时间为0。 3. 对于每个顾客i(从0到n-1),总等待时间累加服务时间ti乘以剩下的顾客数目(n -i -1)。 4. 最后将总等待时间除以n,得到平均等待时间。 例如,在Python中的实现: def minimal_avg_waiting_time(service_times): service_times.sort() n = len(service_times) total = 0 for i in range(n): total += service_times[i] * (n - i -1) return total / n 这样,输入如[3,1,2]会被排序为[1,2,3],计算总等待时间1*2 +2*1 +3*0=2+2+0=4 →4/3≈1.333。 这符合正确的结果。 现在,用户希望得到如何实现这个算法的指导。根据引用中的代码,虽然某些可能有错误,但正确的步骤是排序后计算每个元素的贡献。 因此,在回答中需要说明: - 算法思想:按服务时间升序排序,使等待时间最短的顾客优先服务,从而减少后续顾客等待时间。 - 具体步骤: 1. 输入顾客服务时间数组。 2. 对数组进行升序排序。 3. 遍历数组,计算每个顾客服务时间对总等待时间的贡献,即ti乘以剩余顾客数量(n-i-1)。 4. 计算总和后除以n得到平均等待时间。 - 代码实现(例如Python): 给出一个示例代码,并解释关键步骤。 - 注意事项,如数据溢出,使用足够大的数据类型存储总和。 现在,检查引用中的正确代码。例如,引用[4]的代码虽然计算方式有问题,但用户的问题可能希望得到正确的代码。或者可能用户引用的代码是正确的? 假设用户的问题中的引用可能有错误,所以应该按照正确的算法来指导用户。 综上,回答应该包括: - 算法思想:最短作业优先。 - 步骤:排序,计算总等待时间,求平均。 - 代码示例(正确的方式)。 - 可能的测试案例。 例如,测试输入3个顾客服务时间3,1,2,排序后1,2,3,总等待时间4,平均1.33。 在代码中,例如: n =3 times = [3,1,2] 排序后 [1,2,3] sum = 1*2 +2*1 +3*0=4 →4/3=1.333... 所以代码正确。 现在,根据用户提供的引用,需要引用正确的部分。例如,引用[1]中的算法思想是正确的。 所以,在回答中需要引用这些正确的部分,并给出正确的代码。</think>要解决最优服务次序问题并最小平均等待时间,可以采用**最短作业优先(SJF)**的贪心算法。以下是具体实现步骤和代码示例: --- ### **算法思想** 1. **排序策略**:将顾客服务时间升序排列,确保服务时间短的顾客优先处理,减少后续顾客的累积等待时间[^1]。 2. **等待时间计算**:第 $i$ 个顾客等待时间等于其之前所有顾客服务时间的总和。总等待时间为所有顾客等待时间之和,除以 $n$ 得到平均等待时间[^1]。 --- ### **代码实现(Python)** ```python def minimal_average_waiting_time(service_times): service_times.sort() # 按服务时间升序排序 total_wait = 0 n = len(service_times) for i in range(n): # 每个顾客的贡献:服务时间 * 剩余顾客数量(n-i-1) total_wait += service_times[i] * (n - i - 1) return total_wait / n # 示例输入 n = 5 service_times = [5, 3, 2, 4, 1] print(f"最小平均等待时间:{minimal_average_waiting_time(service_times):.2f}") ``` --- ### **关键步骤解析** 1. **输入处理**:接收顾客数量 $n$ 和服务时间列表。 2. **排序**:使用内置排序函数将服务时间升序排列。 3. **总等待时间计算**:遍历排序后的列表,累加每个顾客服务时间与其影响范围的乘积(剩余顾客数)。 4. **平均计算**:总等待时间除以 $n$,得到最小平均等待时间。 --- ### **示例验证** 输入:`service_times = [3, 1, 2]` 排序后:`[1, 2, 3]` 计算贡献: - 第1顾客1):影响后2人 → $1 \times 2 = 2$ - 第2个顾客(2):影响后1人 → $2 \times 1 = 2$ - 第3个顾客(3):影响0人 → $3 \times 0 = 0$ 总等待时间:$2 + 2 + 0 = 4$ 平均等待时间:$4 / 3 \approx 1.33$ --- ### **注意事项** 1. **时间复杂度**:排序步骤为 $O(n \log n)$,遍历计算为 $O(n)$,整体复杂度 $O(n \log n)$[^1]。 2. **数据类型**:总和可能较大,需使用足够大的数据类型(如Python的`int`无需额外处理)。 --- ### **扩展场景(多服务点)** 若有 $s$ 个服务点,需将顾客分配到不同队列,每个队列仍按SJF策略排序。总等待时间为所有队列中顾客等待时间之和[^2]。 ---
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