计量经济学复习笔记（七）

在前面的基础上，我们要对参数的估计值等做统计检验，还需要另一项假设就是，干扰项必须符合正态分布
但是由于有中心极限定理，只要样本数量够多，就可以近似看做正态分布 anyway，正态分布必须成立即

$$u\sim N(0,\sigma^2)$$

然后这条归纳式就很形象

$$y|x\sim N(\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k,\sigma^2)$$
就是说这个y在x的条件下是符合这个分布的，就是说我们统计分布中不确定的地方就是来自于这个u

之后是一个考试的重点，应该是吧

OLS估算量的抽样分布

由于之前的计算式，和前面的七个假定，我们可以推出，参数估计量是y的线性函数，那么唯一影响y的不确定性的就是u，既然u服从正态，则OLS估计量也符合正态分布
有

$$\hat \beta_k\sim N(\beta_k,Var(\hat \beta_k))$$
在$\sigma$确定的情况下，我们有 $$\cfrac{\hat\beta_k-\beta_k}{Se(\hat \beta_k)}\sim N(0,1)$$

但是呢大多数时候这个$\sigma$我们是不知道的
所以我们用之前求出的$\hat \sigma$来估计它，之后我们就有这个$Var(\hat\beta_k)$是符合$\chi^2$分布的

所以根据T分布定义
$检验量 =\cfrac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n-K-1)}}\sim T_{n-K-1}$
所以

$$\cfrac{\hat\beta_k-\beta_k}{Se(\hat \beta_k)}\sim T_{n-K-1}$$

T分布是重点！！！！！！

所以我们要对真实参数$\beta_k$进行假设检验的时候，就拿出t值（这里要注意是单尾检验还是双尾检验），然后根据检验量求出真实参数的取值范围

$$\hat\beta_k \pm t_{\alpha/2,or ,\alpha}Se(\hat \beta_k)$$ 来构建$1-\alpha$的置信区间

双尾检验，就是检验是否相等：

$$H_0:\beta_k = \beta_k^*$$
$$H_1:\beta_k \ne \beta_k^*$$

单尾检验就是检验大小关系:

$$H_0:\beta_k \le \beta_k^*$$
$$H_1:\beta_k \gt \beta_k^*$$

但是比较常见的就是检验相关性了，就是是否为零：

$$H_0:\beta_k =0$$
$$H_1:\beta_k \ne0$$

PS：一般来说都是为了拒绝原假设的，因为拒绝比不能反对更有说服力。

然后还有一种是显著性检验，就是直接算出检验子t，和$t_{\alpha/2,or ,\alpha}$比较，如果$|t|\gt t_{\alpha/2,or ,\alpha}$,就拒绝原假设

to be continue…