bzoj 3122 [Sdoi2013]随机数生成器

最新推荐文章于 2019-04-05 17:05:00 发布

yukun133

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013238393/article/details/52921973

本文介绍了一种利用快速幂和BSGS算法解决线性同余方程的方法，针对给定的递推公式Xn+1=(aXn+b)%P，探讨了如何寻找最小的n使得Xn等于特定值t，其中P为质数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接： http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3122

感谢my的题解：http://blog.youkuaiyun.com/xaphoenix/article/details/50719539

大致题意是：给你个方程，Xn+1=(aXn+b)%P，求最小的n满足Xn=t ，P是质数。

我们将递推式展开得到: Xn+1=a^n*x1+b+a^2*b+···+a^(n-1)*b。后半部分我们用等比数列进行化简。我们设d=(b/(a-1))%P。那么Xn+1=a^n*x1+d*a^n-db。令(x1+d)为p，x1+bd为q。那么q=p*a^n。令x=q/p。则a^n=x(mod P) 到这里后我们利用BSGS进行计算即可。注意本题的细节部分：x1==t，a==0,a==1。

注意要用LL ，一开始我自己的BSGS模板过样例的时候发现少1，，，纠结了一会那么加一再交吧！就ok。

/**************************************************************
    Problem: 3122
    User: yukun133
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1832 ms
    Memory:10684 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 100100;
const int M = 1000100;
 
LL sz,num[N],pre[N],last[M];
LL quickpow(LL a,LL b,LL p){
    LL res=1;a%=p;
    while(b>0){
        if(b & 1) res=(long long)res*a%p;
        b>>=1;
        a=(long long)a*a%p;
    }
    return res;
}

void Hash(LL x,LL y){
    sz++;num[sz]=y;pre[sz]=last[x];last[x]=sz;
}
LL BSGS(LL y,LL z,LL p){ //return -1表示无解   
    memset(last,0,sizeof(last));
    sz=0;z%=p;
    if(z==1) return 0;
    if(y%p==0){
        if(z==0) return 1;
        else return -1;
    }
    LL i,j,mi,limt=sqrt(p),now=z;
    for(i=1;i<=limt+1;i++){
        Hash(now%M,now);
        now=(long long)now*y%p;
    }
    now=1;mi=quickpow(y,limt,p);
    for(i=1;i<=limt+1;i++){
        now=(long long)now*mi%p;
        for(j=last[now%M];j;j=pre[j]){
            if(num[j]==now){
                return i*limt-j+1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

void extendgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)  
{  
    if(b==0){d=a;x=1;y=0;return;}  
    extendgcd(b,a%b,d,y,x);  
    y-=x*(a/b);  
}  
LL GetNi(LL A,LL M)  
{  
    LL rex=0,rey=0;  
    LL td=0;  
    extendgcd(A,M,td,rex,rey);  
    return (rex%M+M)%M;  
}  
 
int main()
{
    int T;  
    cin>>T;  
    LL p,a,b,x1,t;
    while (T--)  
    {  
        cin>>p>>a>>b>>x1>>t;  
        if (t==x1)  
        {  
            printf("1\n");  
            continue;  
        }  
        if (a==0)  
        {  
            if (b==t) cout<<2<<endl;  
                else  cout<<-1<<endl;  
            continue;  
        }   
        if (a==1)  
        {  
            t=(t+p-x1+b)%p;  
            t=(t*GetNi(b,p))%p;  
            if (t>0) printf("%d\n",t);  
            else if(b==0) printf("-1\n");  
            else printf("%d\n",p);  
            continue;  
        }  
        LL d=(b*GetNi(a-1,p))%p;  
        t=(t+d)%p;  
        x1=(x1+d)%p;  
        t=(t*GetNi(x1,p))%p; 
        LL ans=BSGS(a,t,p);
        if(~ans) 
            cout<<ans+1<<endl;
        else cout<<-1<<endl;
        
    }  
     
    return 0;
}
 
 
/*
 
3 
7  1 1 3 3
7  2 2 2 0
7  2 2 2 1
 
*/