HDU1023(卡特兰数)

题意：

给你一个数n，表示有n辆火车，编号从1到n，从远方驶过来，问你有多少种出站的可能。

解题思路：

模拟栈的问题而已。

这道题其实也是组合数学卡特兰数的一个典型应用而已。下面就介绍一下卡特兰数。

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卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用很广泛，最典型的四种应用问题现描述如下：

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　     类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

Catalan数的解法

1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
　　另类递归式：
　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.BigInteger;


public class Main
{
	public static void main(String args[])
	{		
		BigInteger[] a = new BigInteger[101];
		a[0] = BigInteger.ZERO;
		a[1] = BigInteger.valueOf(1);
		for(int i = 2; i <= 100; ++i)
			a[i] = a[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(4 * i - 2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
			Scanner in = new Scanner(System.in);
			int n;
			while(in.hasNext())
			{
				n = in.nextInt();
				System.out.println(a[n]);
			}
	}
}

也可以使用递推：

其中dfs里的s是栈内单元数，n是未入栈的单元数。

#include <cstdio>
#include <cstring>

char visit[101][101][1000];

void plus(char* a, char* b, char* c)
{
    char temp[1000];
    temp[999] = '\0';
    int a_len = strlen(a)-1, b_len = strlen(b)-1, t = 998, carry = 0;
    while (a_len >= 0 && b_len >= 0)
    {
        carry += a[a_len--] - '0' + b[b_len--] - '0';
        temp[t--] = carry % 10 + '0';
        carry /= 10;
    }
    while (a_len >= 0)
    {
        carry += a[a_len--] - '0';
        temp[t--] = carry % 10 + '0';
        carry /= 10;
    }
    while (b_len >= 0)
    {
        carry += b[b_len--] - '0';
        temp[t--] = carry % 10 + '0';
        carry /= 10;
    }
    if (carry)
        temp[t] = carry + '0';
    else ++t;
    strcpy(c, temp+t);
}

void dfs(int s, int n)
{
    if (visit[s][n][0]) return;
    if (n < 0) return;
    if (s == 0)
    {
        dfs(1, n-1);
        strcpy(visit[0][n], visit[1][n-1]);
        return;
    }
    dfs(s+1, n-1);
    dfs(s-1, n);
    if (n == 0)
        strcpy(visit[s][n], visit[s-1][n]);
    else
    {
        plus(visit[s+1][n-1], visit[s-1][n], visit[s][n]);
    }
        
}

char* result(int n)
{
    dfs(0, n);
    return visit[0][n];
}

int main()
{
    int n;
    visit[0][0][0] = '1';
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        printf("%s\n", result(n));
    }
    return 0;
}