BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演,分块,容斥)

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题意:对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

HDU1695基本是类似的,这道题如果还是使用之前的方法计算

f(k)=k|du(dk)F(d)=k|du(dk)BdDd
(其中k=1,B,D分别是两个区间右端点)会TLE,这里面有一个优化的地方,因为
Nx2×N
所以就会存在
Nx=Nx+1...
等,这样一段连续的区间就可以分成一块。

比如N=16,当

6d8
的时候,有
166=167=168=2

那么函数
f(1)=1|du(d)F(d)
6d8
的时候F(d)的结果都是一样的,即
F(6)=F(7)=F(8)

那么
f(1)=...+u(6)F(6)+u(7)F(7)+u(8)F(8)+...=...+F(6)[u(6)+u(7)+u(8)]+...

这样u函数用前缀和维护,这段就
O(1)
计算了,所以这段计算的时间由
O(n)
降到
O(N)


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define pb push_back
#define gcd __gcd

const double EPS = 1e-8;
const int maxn = 1e5+1000;
const int inf  = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);

bool check[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
void Moblus(){
    cl(check,false);
    mu[1]=1;int tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>maxn)break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int k;
/*
//TLE 代码
ll cal(int n,int m){
    n/=k;m/=k;
    if(n>m)swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=(ll)mu[i]*(n/i)*(m/i);
    return ans;
}*/
ll sum[maxn];
//分块优化 N/x值的种类个数不大于2*sqrt(N)
ll cal(int n,int m){
    n/=k;m/=k;
    if(n>m)swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));//计算当前i能往右边扩的位置,比如N=16,i=6,那么就能扩到8的位置
        ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}

int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    Moblus();
    sum[0]=0;for(int i=1;i<maxn;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    while(T--){
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%lld\n",cal(b,d)-cal(a-1,d)-cal(c-1,b)+cal(a-1,c-1));//容斥原理

    }
    return 0;
}
内容概要:该论文探讨了一种基于粒子群优化(PSO)的STAR-RIS辅助NOMA无线通信网络优化方法。STAR-RIS作为一种新型可重构智能表面,能同时反射和传输信号,与传统仅能反射的RIS不同。结合NOMA技术,STAR-RIS可以提升覆盖范围、用户容量和频谱效率。针对STAR-RIS元素众多导致获取完整信道状态信息(CSI)开销大的问题,作者提出一种在不依赖完整CSI的情况下,联合优化功率分配、基站波束成形以及STAR-RIS的传输和反射波束成形向量的方法,以最大化总可实现速率并确保每个用户的最低速率要求。仿真结果显示,该方案优于STAR-RIS辅助的OMA系统。 适合人群:具备一定无线通信理论基础、对智能反射面技术和非正交多址接入技术感兴趣的科研人员和工程师。 使用场景及目标:①适用于希望深入了解STAR-RIS与NOMA结合的研究者;②为解决无线通信中频谱资源紧张、提高系统性能提供新的思路和技术手段;③帮助理解PSO算法在无线通信优化问题中的应用。 其他说明:文中提供了详细的Python代码实现,涵盖系统参数设置、信道建模、速率计算、目标函数定义、约束条件设定、主优化函数设计及结果可视化等环节,便于读者理解和复现实验结果。此外,文章还对比了PSO与其他优化算法(如DDPG)的区别,强调了PSO在不需要显式CSI估计方面的优势。
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