原文地址:http://www.cppblog.com/xiaoyisnail/archive/2009/09/19/96707.html
今天看了一位师兄去年的笔经总结,其中有一题是“不许用%和/来实现求任意数除以3的余数”,我想考官的目的应该是想考察学生对位运算的熟悉程度吧,于是我把题目扩展成“只能用+,-和位运算实现正整数除法(/)和取模(%)”,注意:这里不能使用其它的库例程来辅助计算,如log,log10等。在思考这道题目的过程中,我又涉及到了许多二进制相关的题目,如:
判断给定的整数是不是2的整数次幂
判断给定的整数是不是4的整数次幂
求给定整数的二进制表示中1的个数
求给定整数的二进制表示中0的个数
求给定整数的二进制表示中最高位1的位置
求大于等于给定整数的最小的2的整数次幂
求给定整数的二进制表示的有效位数
...
9月21日补充:这里只考虑值为正整数的情况。
这些题目都是经典老题,频繁出现于各类笔试面试题中,除了能考察位运算外,还能考察应聘者能否给出创新的算法来更好地解决问题。可以说这些题目都不难,如果使用32位的int来表示整数的话,蛮力法都可以比较好地完成任务,但是如果想尽可能地提高效率,那就需要动一番脑经了。下面给出我对这些问题的整理和C++实现,并在下次的文章中给出只用+,-和位运算实现的正整数除法和取模。
从某种意义上讲,特别是从充分利用底层硬件的计算能力(利用特殊的cpu指令)来看,这些解法肯定不是最优的,所以还希望大侠们多多指点。
判断给定的整数是不是2的整数次幂
这应该是最简单的,利用最高位是1,其后所有位为0的特性,常数时间解决问题:
2 inline bool is_2exp(unsigned int n)
3 {
4 return !(n&(n-1));
5 }
求给定整数的二进制表示中1的个数
考虑到n-1会把n的二进制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1,同时不改变此位置前的所有位,那么n&(n-1)即可消除这个最低位的1。这样便有了比顺序枚举所有位更快的算法:循环消除最低位的1,循环次数即所求1的个数。此算法的时间复杂度为O(n的二进制表示中的1的个数),最坏情况下的复杂度O(n的二进制表示的总位数)。

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求给定整数的二进制表示的有效位数
上面提到了线性地求这个位数(下文记为m),即“循环右移1位,记录右移次数”,时间复杂度O(m)。但是我想,一看到这个题目,所有人的第一反应应该是floor(log2(n))+1吧,但是请注意,本文在一开始就规定了“不能使用库例程”,那么在这个限制下该怎么做呢?有没有比线性时间更好的算法呢?其实到目前为止我也没有什么特别好的算法,希望谁有什么精妙的算法能指点一下,不要打我。。。

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求大于等于给定整数的最小的2的整数次幂
首先是最简单的思路:求出n的二进制表示的总位数m,于是1<<m即为所求值,当然这里要排除n自身就是2的整数次幂的情况,复杂度O(m),实现如下:

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那有没有不用计算位数m,从而效率更好的算法呢,能不能像在计算二进制表示中1的个数时那样根据1的个数来设计算法呢?回到那一题中,“n-1会把n的二进制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1”,那么n|=n-1就把n的二进制表示中最低位1后的所有0置1,再加上1,那么就把最低位1左移了一位。于是,便有了更好的算法:循环左移最低位的1,直到n是2的整数次幂。该算法跟二进制表示中的1的个数和位置有关,最坏时间复杂度还是O(二进制表示位数),但是比起上一个实现,这个算法在多数情况下都比上一个算法快。实现如下:

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最后来一个简单的扩充题目:
判断给定的整数是不是4的整数次幂
观察4的整数次幂的特征,容易发现除了满足n&(n-1)==0外,唯一的1位后的0的个数是偶数,这从4x=22k也能简单地得到。这就很直观地衍生出一个简单的算法:

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说明:写这篇文章,已经三次丢失全文了,把我快搞疯了,firefox下好像有点问题,先把文章发上来,过会儿换到IE下继续。。。
再说明:换了IE后就没再出问题了,不过写着写着发现写了好久,先歇会儿,得看书补习功课了

最后的说明:下次会给出本文最初提出的问题(只能用+,-和位运算实现正整数除法(/)和取模(%))的实现。