快速傅里叶变换

首先，按照被变换的输入信号类型不同，傅立叶变换可以分为 4种类型：
1、 非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform）
2、 周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series)
3、 非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4、 周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

下面是四种原信号图例：

这里我们要讨论是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用， 对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理 ，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，我们要讨论的FFT也只不过是DFT的一种快速的算法。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform ）,是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转到频域的表示或者逆过来转换。FFT会把DFT矩阵分解为稀疏因子之积来快速计算此类变换。因此它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的O(n^2)降低到O(nlogn)，其中n为数据的大小。

令x₀, ...., x_N-1 为复数，DFT由下式定义：

直接按这个定义求值需要 O(N²) 次运算：X_k 共有 N 个输出，每个输出需要 N 项求和。直接使用DFT运算需使用N个复数乘法(4N 个实数乘法)与N-1个复数加法(4N-4个实数加法)，因此，计算使用DFT所有N点的值需要N²复数乘法与N²-N 个复数加法。FFT则是能够在 O(N log N) 次操作计算出相同结果的任何方法。更准确的说，所有已知的FFT算法都需要 O(N log N) 次运算。