图割 Graph Cut

最新推荐文章于 2022-11-08 17:56:19 发布

XYZ_916

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分类专栏：图像处理

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Graph cuts是一种能量优化算法。此类方法把图像的分割问题与图的最小割（min cut）问题相关联，常用于图像中前景和背景的分割问题中。首先用一个无向图G=<V,E>表示要分割的图像，V和E分别是顶点（Vertex）和边（edge）的集合。Graph cuts图在普通图的基础上多了两个点，分别用S和T表示，统称为终端定点。其他所有的顶点都和S与T相连，并且构成的边属于E中的一部分。因此Graph cuts中有两种顶点和两种边。

第一种：普通顶点，对应于图像中的每个像素。每两个相邻的顶点（图像中两个相邻的像素）的连接构成一条边。这种边叫n-links.

第二种：除了图像像素外，还有S(源头)和T(汇点)。每个普通的顶点与这两个终端顶点之间的连接形成的边为第二种边。这种边叫t-links.

上图有两种边，实线的边表示每两个邻域普通顶点连接的边n-links，虚线的边表示每个普通顶点与s和t连接的边t-links。在前后景分割中，s一般表示前景目标，t一般表示背景。

图中每条边都有一个非负的权值w_e，也可以理解为cost（代价或者费用）。一个cut（割）就是图中边集合E的一个子集C，那这个割的cost（表示为|C|）就是边子集C的所有边的权值的总和。

Graph Cuts中的Cuts是指这样一个边的集合，很显然这些边集合包括了上面2种边，该集合中所有边的断开会导致残留”S”和”T”图的分开，所以就称为“割”。如果一个割，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。网路的最大流max flow与最小割min cut相等。所以由Boykov和Kolmogorov发明的max-flow/min-cut算法就可以用来获得s-t图的最小割。这个最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s ∈S，t∈ T和S∪T=V 。这两个子集就对应于图像的前景像素集和背景像素集，那就相当于完成了图像分割。也就是说图中边的权值就决定了最后的分割结果。

图像分割可以看成pixel labeling（像素标记）问题，目标（s-node）的label设为1，背景（t-node）的label设为0，这个过程可以通过最小化图割来最小化能量函数得到。那很明显，发生在目标和背景的边界处的cut就是我们想要的（相当于把图像中背景和目标连接的地方割开，那就相当于把其分割了）。同时，这时候能量也应该是最小的。假设整幅图像的标签label（每个像素的label）为L= {l_1,l_2,,,, l_p }，其中l_i为0（背景）或者1（目标）。那假设图像的分割为L时，图像的能量可以表示为：

E(L)=aR(L)+B(L)

其中，R(L)为区域项（regional term），B(L)为边界项（boundary term），而a就是区域项和边界项之间的重要因子，决定它们对能量的影响大小。如果a为0，那么就只考虑边界因素，不考虑区域因素。E(L)表示的是权值，即损失函数，也叫能量函数，图割的目标就是优化能量函数使其值达到最小。

区域项：

，其中R_p(l_p)表示为像素p分配标签l_p的惩罚，R_p(l_p)能量项的权值可以通过比较像素p的灰度和给定的目标和前景的灰度直方图来获得，换句话说就是像素p属于标签l_p的概率，我希望像素p分配为其概率最大的标签l_p，这时候我们希望能量最小，所以一般取概率的负对数值，故t-link的权值如下：

R_p(1) = -ln Pr(I_p|’obj’)； R_p(0) = -ln Pr(I_p|’bkg’)

由上面两个公式可以看到，当像素p的灰度值属于目标的概率Pr(I_p|’obj’)大于背景Pr(I_p|’bkg’)，那么R_p(1)就小于R_p(0)，也就是说当像素p更有可能属于目标时，将p归类为目标就会使能量R(L)小。那么，如果全部的像素都被正确划分为目标或者背景，那么这时候能量就是最小的。

边界项：

其中，p和q为邻域像素，边界平滑项主要体现分割L的边界属性，B_<p,q>可以解析为像素p和q之间不连续的惩罚，一般来说如果p和q越相似（例如它们的灰度），那么B_<p,q>越大，如果他们非常不同，那么B_<p,q>就接近于0。换句话说，如果两邻域像素差别很小，那么它属于同一个目标或者同一背景的可能性就很大，如果他们的差别很大，那说明这两个像素很有可能处于目标和背景的边缘部分，则被分割开的可能性比较大，所以当两邻域像素差别越大，B_<p,q>越小，即能量越小。

总结：

我们目标是将一幅图像分为目标和背景两个不相交的部分，我们运用图分割技术来实现。首先，图由顶点和边来组成，边有权值。那我们需要构建一个图，这个图有两类顶点，两类边和两类权值。普通顶点由图像每个像素组成，然后每两个邻域像素之间存在一条边，它的权值由上面说的“边界平滑能量项”来决定。还有两个终端顶点s（目标）和t（背景），每个普通顶点和s都存在连接，也就是边，边的权值由“区域能量项”R_p(1)来决定，每个普通顶点和t连接的边的权值由“区域能量项”R_p(0)来决定。这样所有边的权值就可以确定了，也就是图就确定了。这时候，就可以通过min cut算法来找到最小的割，这个min cut就是权值和最小的边的集合，这些边的断开恰好可以使目标和背景被分割开，也就是min cut对应于能量的最小化。而min cut和图的max flow是等效的，故可以通过max flow算法来找到s-t图的min cut。