projecteuler No.145 How many reversible numbers are there below one-billion?

原文题目链接：

http://projecteuler.net/problem=145

翻译题目链接：

http://pe.spiritzhang.com/index.php/2011-05-11-09-44-54/147-14510

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题目分析：

这道题其实情况数不多，可以对10^9进行枚举，大概几分钟就可以做出来。

但其实也有不需要计算机的纯数学解法。我附在解法二中。

解法一：大量的枚举

解题过程（代码仅供参考，因为偷懒，代码风格什么的实在不好意思...）：

if (i % 10 == 0)
	continue;

依题意，跳过末尾为0的数。其中，i为从1到1000000000循环的数。

int k = i;
while(k)
{
	a[la] = k % 10;
	la++;
	k /= 10;
}

将i转存到数组a[]中。la为a的长度，初始为0；

for (int j = 0; j < la; j++)
{
	b[j] += a[j] + a[la - 1 - j];
	if (b[j] >= 10)
	{
		b[j]%=10;
		b[j+1]++;
	}
}
if (b[la])
	lb = la + 1;
else
	lb = la;

计算a[]与a[]的逆序的和并存入b[]中。检查进位判断b[]的长度lb。

for (int j = 0; j < lb; j++)
{
	if (b[j] % 2 == 0)
		goto next;
}
ans++;

若计算出来的b[]每一位都是奇数，计数器加1。

最后输出ans结果为608720。

用时大概是几分钟的样子，没有准确计时。

解法二：纯数学解法

解题过程：

一、首先证明，9位数中没有满足条件的reversible numbers

反证：若有，设为abcdefghi

考察abcdefghi+ighfedcba从右数第5位。

若第4位未发生进位，则该位为2e%10，不为奇数，故第4位发生进位。

所以，第6位也发生进位，(c+h)%10为偶数。

所以第2位也发生进位。

所以，第8位也发生进位，(a+i)%10为偶数。

所以这个和的最后一位为偶数，矛盾。

故9位数中没有满足条件的reversible numbers。

【其实到现在从1~10^8进行搜索是最明智的选择，3s之内可以搞定。但谁让我们是在说纯数学做法呢~O(∩_∩)O~】

同理可证5位数和1位数中没有满足条件的reversible numbers（对4k+1位数均适用）

二、其次，我们来求有多少8位数是满足条件的reversible numbers

从现在开始，我们定义几个数对集，这几个数对集的元素个数比较好求，已标在集合定义的后面。

A1={(x,y)|(x+y)%2=1且x+y<10且x,y为1~9的整数}；   |A1| = 20

B1={(x,y)|(x+y)%2=0且x+y<10且x,y为1~9的整数}；   |B1| = 16

C1={(x,y)|(x+y)%2=1且x+y>=10且x,y为1~9的整数}； |C1| = 20

D1={(x,y)|(x+y)%2=0且x+y>=10且x,y为1~9的整数}； |D1| = 25

A0={(x,y)|(x+y)%2=1且x+y<10且x,y为0~9的整数}；   |A0| = 30

B0={(x,y)|(x+y)%2=0且x+y<10且x,y为0~9的整数}；   |B0| = 25

设数abcdefgh是一个8位reversible number。

记和为abcdefgh+hgfedcba

case1 (a,h)∈A1

考察和的从右数第2位和第8位，有(b,g)∈A0

同理，(c,f),(d,e)均属于A0。

而显然，满足上述条件的8位数是reversible number。

故这个case的答案种数有20*30^3=540000

case2 (a,h)∉A1，则显然(a,h)∈C1

考察和的从右数第2位，(b+g)%2=0.考察和的从右数第9位，有b+g<10。

故(b,g)∈B0.

考察和的从右数第3位和第7位，有(c,f)∈C1

考察和的从右数第4位和第6位，有(d,e)∈B0

考察和的从右数第5位，发现时偶数。

故这个case下没有reversible number。

综上所述，有540000个8位数是reversible numbers

三、接下来，我们来求有多少7位数是满足条件的reversible numbers
设数abcdefg是一个7位reversible number。

记和为abcdefg+gfedcba

考察和的从右数4位，若其为奇数，有：c+e>10

考察和的从右数6位，有(b+f)%10%2=0

考察和的从右数2位，有a+c>10.

进一步考察和的最右位，有(a,c)∈C1

进一步考察和的从右数7位，有(b,f)∈B0

进一步考察和的从右数3位，有(c,e)∈C1

考察和的从右数5位,有d∈{0,1,2,3,4}

而显然，满足上述条件的7位数是reversible number。

故共有7位reversible number 20*20*25*5 = 50000个

四、然后，我们来求有多少6位数是满足条件的 reversible numbers

而这段分析，其实是完全类似于对8位数的分析的，在此就不写了。一共有20*30*30=18000个。

五、最后，我们来求有多少4位数是满足条件的 reversible numbers

而这段分析，其实也是完全类似于对8位数的分析的，在此就不写了。一共有20*30=600个。

于是汇总上题干中的信息（不超过1000的reversible numbers有120个） ，答案为120+600+18000+540000=608720

以上只是我做题时的解法。

如果有更好的解法、更好的思路，欢迎评论讨论~O(∩_∩)O~