实数和浮点数之间的变换

最新推荐文章于 2021-10-23 22:37:50 发布

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现在我们已经明白了浮点数的 IEEE 表达方式。我们来做些实数和浮点数之间的变换练习以加深理解。在这些练习中，你还会发现一些围绕浮点数运算的令人吃惊的事实。

首先我们来看看事情简单的一面，从浮点数变换到实数。理解了浮点数的格式，做这个练习并不难。假定我们有一个 32 位的数据，用十六进制表示为0xC0B40000，并且我们知道它实际上是一个单精度的浮点数。为了得到该浮点数实际表达的实数，我们首先将它变换为二进制形式：

   C     0     B     4     0     0     0     0
  1100  0000  1011  0100  0000  0000  0000  0000

接着按照浮点数的格式切分为相应的域：

1   10000001 01101000000000000000000

符号域 1 意味着负数；指数域为 129 意味着实际的指数为 2 （减去偏差值 127）；尾数域为 01101 意味着实际的二进制尾数为 1.01101（加上隐含的小数点前面的1）。所以，实际的实数为：

-1.01101 × 2²

-(2⁰ + 2^-2 + 2^-3 2^-5) × 2²

-5.625

从实数向浮点数变换稍微麻烦一点。假定我们需要将实数-9.625 表达为单精度的浮点数格式。方法是首先将它用二进制浮点数表达，然后变换为相应的浮点数格式。

首先，将小数点左侧的整数部分变换为其二进制形式，9 的二进制性形式为 1001。处理小数部分的算法是将我们的小数部分乘以基数2，记录乘积结果的整数部分，接着将结果的小数部分继续乘以2，并不断继续该过程：

0.625 × 2 = 1.25          1
0.25   × 2 = 0.5          0
0.5    × 2 = 1            1
0

当最后的结果为零时，结束这个过程。这时右侧的一列数字就是我们所需的二进制小数部分，即 0.101。这样，我们就得到了完整的二进制形式1001.101。用规范浮点数表达为1.001101 × 2³。

因为是负数，所以符号域为 1。指数为 3，所以指数域为 3 + 127= 130，即二进制的10000010。尾数省略掉小数点左侧的1 之后为 001101，右侧用零补齐。最终结果为：

1 10000010 00110100000000000000000

最后可以将浮点数形式表示为十六进制的数据如下：

1100    0001  0001  1010  0000  0000  0000  0000

 C     1     1     A     0     0     0     0

最终结果为 0xC11A0000。

很简单？等等！你可能已经注意到了，在上面这个我们有意选择的示例中，不断的将产生的小数部分乘以2 的过程掩盖了一个事实。该过程结束的标志是小数部分乘以 2 的结果为 1，不难想象，很多小数根本不能经过有限次这样的过程而得到结果（比如最简单的0.1）。我们已经知道浮点数尾数域的位数是有限的，为此，浮点数的处理办法是持续该过程直到由此得到的尾数足以填满尾数域，之后对多余的位进行舍入。换句话说，除了我们之前讲到的精度问题之外，十进制到二进制的变换也并不能保证总是精确的，而只能是近似值。事实上，只有很少一部分十进制小数具有精确的二进制浮点数表达。再加上浮点数运算过程中的误差累积，结果是很多我们看来非常简单的十进制运算在计算机上却往往出人意料。这就是最常见的浮点运算的"不准确"问题。参见下面的 Java 示例：

System.out.print("34.6-34.0=" + (34.6f-34.0f));

这段代码的输出结果如下：

34.6-34.0=0.5999985

产生这个误差的原因是 34.6 无法精确的表达为相应的浮点数，而只能保存为经过舍入的近似值。这个近似值与34.0 之间的运算自然无法产生精确的结果。