5. Longest Palindromic Substring

最新推荐文章于 2025-07-16 16:59:19 发布

WQ同学

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分类专栏： java 算法 LeetCode 文章标签： leetcode-java 回文字符串

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本文介绍了一种高效的算法来寻找字符串中的最长回文子串。通过对字符串进行预处理，并利用回文串的对称性质，该算法能够在O(N)的时间复杂度内解决问题。

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example:

Input: “babad”

Output: “bab”

Note: “aba” is also a valid answer.

Example:

Input: “cbbd”

Output: “bb”
这个是一道求回文串的题目，首先想到的解法就是直接的循环遍历一次求出每个点的回文长度依次找出最大的这种的时间复杂度位n的平方，这种的代码就不演示了，下面介绍一种稍微高效一丢丢的算法。
首先我们把字符串S改造一下变成T，改造方法是：在S的每个字符之间和S首尾都插入一个”#”。这样做的理由你很快就会知道。

例如，S=”abaaba”，那么T=”#a#b#a#a#b#a#”。

想一下，你必须在以Ti为中心左右扩展才能确定以Ti为中心的回文长度d到底是多少。（就是说这一步是无法避免的）

为了改进最坏的情况，我们把各个Ti处的回文半径存储到数组P，用P[i]表示以Ti为中心的回文长度。那么当我们求出所有的P[i]，取其中最大值就能找到最长回文子串了。

对于上文的示例，我们先直接写出所有的P研究一下。

i = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C

T = # a # b # a # a # b # a #

P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

显然最长子串就是以P[6]为中心的”abaaba”。

你是否发现了，在插入”#”后，长度为奇数和偶数的回文都可以优雅地处理了？这就是其用处。

现在，想象你在”abaaba”中心画一道竖线，你是否注意到数组P围绕此竖线是中心对称的？再试试”aba”的中心，P围绕此中心也是对称的。这当然不是巧合，而是在某个条件下的必然规律。我们将利用此规律减少对数组P中某些元素的重复计算。

我们来看一个重叠得更典型的例子，即S=”babcbabcbaccba”。

上图展示了把S转换为T的样子。假设你已经算出了一部分P。竖实线表示回文”abcbabcba”的中心C，两个虚实线表示其左右边界L和R。你下一步要计算P[i]，i围绕C的对称点是i’。你有办法高效地计算P[i]吗？

我们先看一下i围绕C的对称点i’（此时i’=9）。

据上图所示，很明显P[i]=P[i’]=1。这是因为i和i’围绕C对称。同理，P[12]=P[10]=0，P[14]=P[8]=0。

现在再看i=15处。此时P[15]=P[7]=7？错了，你逐个字符检测一下会发现此时P[15]应该是5。

为什么此时规则变了？

如上图所示，两条绿色实线划定的范围必定是对称的，两条绿色虚线划定的范围必定也是对称的。此时请注意P[i’]=7，超过了左边界L。超出的部分就不对称了。此时我们只知道P[i]>=5，至于P[i]还能否扩展，只有通过逐个字符检测才能判定了。

在此例中，P[21]≠P[9]，所以P[i]=P[15]=5。

我们总结一下上述分析过程，就是这个算法的关键部分了。

if P[ i’ ] < R – i,

then P[ i ] ← P[ i’ ]

else P[ i ] ≥ R - i. (此时要穿过R逐个字符判定P[i]).

（注：原作者的写法在逻辑上欠妥，我作了修正）

是不是很优雅？如果你能理解到这里，你已经搞定了这个算法最困难也最精华的部分了。

很明显C的位置也是需要移动的，这个很容易：

如果i处的回文超过了R，那么就C=i，同时相应改变L和R即可。

每次求P[i]，都有两种可能。如果P[i‘] < R – i，我们就P[i] = P[i’]。否则，就从R开始逐个字符求P[i]，并更新C及其R。此时扩展R（逐个字符求P[i]）最多用N步，而求每个C也总共需要N步。所以时间复杂度是2*N，即O(N)。
下面给出代码

package LongestPalindromicSubstring;
public class Solution {
    // Transform S into T.
    // For example, S = "abba", T = "^#a#b#b#a#$".
    // ^ and $ signs are sentinels appended to each end to avoid bounds checking
    String preProcess(String s) {
        int n = s.length();
        if (n == 0) return "^$";

        String ret = "^";
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            ret += "#" + s.substring(i, i + 1);
        }

        ret += "#$";
        return ret;
    }
    public String longestPalindrome(String s) {
        String T = preProcess(s);
        int length = T.length();
        int[] p = new int[length];
        int C = 0, R = 0;
        //  上一次处理的位置
        //r  i + p[i]
        for (int i = 1; i < length - 1; i++)
        {
            int i_mirror = C - (i - C);  //
            int diff = R - i;  //上一次堆成点的长度
            if (diff >= 0)//当前i在C和R之间，可以利用回文的对称属性
            {
                if (p[i_mirror] < diff)//i的对称点的回文长度在C的大回文范围内部
                {
                    p[i] = p[i_mirror];
                } else {
                    p[i] = diff;
                    //i处的回文可能超出C的大回文范围了
                    while (T.charAt(i + p[i] + 1) == T.charAt(i - p[i] - 1))
                    { p[i]++; }
                    C = i;
                    R = i + p[i];
                }
            } else {
                p[i] = 0;
                while (T.charAt(i + p[i] + 1) == T.charAt(i - p[i] - 1))
                { p[i]++; }
                C = i;
                R = i + p[i];
            }
        }
        int maxLen = 0;
        int centerIndex = 0;
        for (int i = 1; i < length - 1; i++) {
            if (p[i] > maxLen) {
                maxLen = p[i];
                centerIndex = i;
            }
        }
        return s.substring((centerIndex - 1 - maxLen) / 2, (centerIndex - 1 - maxLen) / 2 + maxLen);
    }
}