Sicily 1922. Winning Ways

题目

尼姆博奕（Nimm Game）
两个人从N堆石子中的任意一堆任取1个或多个，取到没得取的人为负者。

奇异局势
如果面对一种局势的人是必败的，那么这种局势叫做奇异局势。比如如果N堆石子都是0个，那么先取者面对的（0,0,0,…,0）就是一种奇异局势。
如果我想让我的对手输，我会想尽办法让他面对奇异局势。
奇异局势有这样一种性质，比如现在的N堆石子的数目为a1，a2，a3，…，aN，那么：
a1⊕a2⊕a3⊕…⊕aN=0。
a1⊕a2⊕a3⊕…⊕aN一般称为Nim-sum。

为什么Nim-sum=0的局势是奇异局势？
也就是说，为什么当玩家面对Nim-sum=0的时候，他是必输的？
这篇论文有比较好的解释：
http://web.mit.edu/sp.268/www/nim.pdf
下面试着翻译为中文：
证明：如果一个玩家想在尼姆博奕的游戏中胜出，他应该让Nim-sum值为0。

引理1 如果在某一轮中Nim-sum=0，那么下一次的操作必然会改变Nim-sum。
证：
令x1，x2，…，xn表示操作前N堆石子的个数，s表示操作前N堆石子的Nim-sum，那么：
s=x1⊕x2⊕x3⊕…⊕xn；
令y1，y2，…，yn表示操作后N堆石子的个数，t表示操作后N堆石子的Nim-sum，那么：
t=y1⊕y2⊕y3⊕…⊕yn；
令操作中改变的石子堆标号为k，那么在操作后必然有xk!=yk，且对于i!=k来说