01背包

01背包问题详解

最新推荐文章于 2022-03-04 00:11:36 发布

原创最新推荐文章于 2022-03-04 00:11:36 发布 · 261 阅读

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本文详细解析了01背包问题的两种典型场景及其解决方案，包括基本01背包问题和改进版问题，通过具体实例展示了使用动态规划求解的方法。

问题：有n个重量和价值分别为wi,vi的物品，从中挑出总质量不超过W的物品，问价值总和的最大值。

思路：对每个物品可以选择取或不取。所以状态转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+vi).

核心代码：

//二维数组	dp[i][j]代表前i个物品重量为j时的最大价值
	for (i=1;i<=n;i++){
		for (j=W;j>=w[i];j--){
			dp[i][W]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		}
	}
//一维数组<span style="white-space:pre">	</span>dp[j]代表重量为j时物品的最大价值
	for (i=1;i<=n;i++){
		for (j=W;j>=w[i];j--)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	}

Bone Collector

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int N,V;
int w[1001];
int v[1001];
int dp[1001];
int main(){
	int t,i,j;
	scanf ("%d",&t);
	while (t--){
		scanf ("%d %d",&N,&V);
		for (i=1;i<=N;i++)
		scanf ("%d",&v[i]);
		for (j=1;j<=N;j++)
		scanf ("%d",&w[j]);	
		memset (dp,0,sizeof(dp));
		for (i=1;i<=N;i++){
		for (j=V;j>=w[i];j--)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	}	
	printf ("%d\n",dp[V]);	
	}
	return 0;
}

01背包2：

问题：同上，当限制条件较大时，如W<=10^9,vi<=100,wi<=10^7.

思路：此时重量的范围较大，价值的范围较小，所以可以改变dp对象，对不同的价值计算最小重量。

dp[i][j]代表从前i个物品中挑选价值总和为j时总重量的最小值。状态转移方程为 dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]+w[i]).

又见01背包

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int main(){
	int n,W;
	int i,j;
	int w[105],v[105];
	int dp[100005];
	while (scanf ("%d %d",&n,&W)!=EOF){
		int sum=0;		
		fill (dp,dp+100005,INF);
		dp[0]=0;
		for (i=0;i<n;i++){
			scanf ("%d %d",&w[i],&v[i]);
			sum+=v[i];
		}

		for (i=0;i<n;i++){
			for (j=sum;j>=v[i];j--){
				dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
		for (i=sum;i>=0;i--){
			if (W>=dp[i]){
				printf ("%d\n",i);
				break;
			}
			
		}
	}
	return 0;
}