点云Alpha Shape边界提取

点云 Alpha Shape 是一种用于描述点云的形状的几何工具，常用于从一组离散的点中提取出一个平滑的、可以反映点云外部形状的多面体。它是一种更为灵活和精细的凸包方法，可以通过引入一个参数（α）控制细节的程度，从而适应不同的形状复杂度。

数学原理

Alpha Shape 基于 Delaunay 三角剖分，主要思想是在 Delaunay 三角剖分中，根据边的长短去掉某些不符合要求的边。参数 α 控制了细节的程度：

• 小的 α 值 会让结果更加精细，捕捉到更多的点云细节，形成复杂的几何形状。
• 大的 α 值 会使得 Alpha Shape 更加光滑，接近于点云的凸包。

Alpha Shape 本质上是通过选择 Delaunay 三角剖分中的边来构建形状，剔除那些无法满足 α 参数的边。这些边的最大圆内没有其他点时，会被视为构成 Alpha Shape 的一部分。

算法步骤

1. 构建 Delaunay 三角剖分：使用点云中的点构建 Delaunay 三角剖分。
2. 筛选边：根据 α 参数的值，选择那些可以作为 Alpha Shape 边的边。一般来说，这些边对应的外接圆没有其他点。
3. 构建 Alpha Shape：将筛选出的边连接起来，形成最终的 Alpha Shape。

代码实现

Python 中可以使用 scipy 和 shapely 库来实现 Alpha Shape，下面是一个简单的实现示例：

import numpy as np
from scipy.spatial import Delaunay
import matplotlib.pyplot as plt
from shapely.geometry import MultiPoint
from shapely.ops import unary_union

def alpha_shape(points, alpha):
    # 生成Delaunay三角剖分
    tri = Delaunay(points)
    edges = set()

    # 遍历所有三角形的边
    for simplex in tri.simplices:
        for i in range(3):
            for j in range(i + 1, 3):
                edge = tuple(sorted([simplex[i], simplex[j]]))
                edges.add(edge)

    # 构造Alpha Shape
    alpha_shape_edges = []
    for edge in edges:
        p1, p2 = points[edge[0]], points[edge[1]]
        # 计算边的中点和半径
        midpoint = (p1 + p2) / 2
        radius = np.linalg.norm(p1 - p2) / 2

        # 判断是否在Alpha Shape内
        if radius < alpha:
            alpha_shape_edges.append