Codeforces 487C. Prefix Product Sequence 逆元+构造

最新推荐文章于 2021-05-14 04:43:09 发布

码代码的猿猿的AC之路

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分类专栏：数论想法技巧

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本文探讨了一种特殊排列问题，即寻找一个从1到n的排列，使得其前缀乘积序列能形成一个完整的0到n-1的序列。通过观察数字n的性质，如是否为合数、是否为质数，以及利用逆元等数学概念，本文提供了解决此类问题的方法，并给出了实例验证。同时，通过代码实现展示了如何在给定时间内求解该问题。

题意:

对于数字n, 问是否存在1~n的一个排列使这个排列的每一个前缀的乘积模上n 可以是0~n-1的一个排列

解析:

通过观察1肯定要在首位,n一定要在最后

除4意外的合数都没有解

其他质数构造 a[i]=i*inv[i-1] , 这样用逆元把前面每个数的影响都消除掉

Consider a sequence [a1, a2, ... , an]. Define its prefix product sequence $\text{[math]}$ .

Now given n, find a permutation of [1, 2, ..., n], such that its prefix product sequence is a permutation of [0, 1, ..., n - 1].

Input

The only input line contains an integer n (1 ≤ n ≤ 105).

Output

In the first output line, print "YES" if such sequence exists, or print "NO" if no such sequence exists.

If any solution exists, you should output n more lines. i-th line contains only an integer ai. The elements of the sequence should be different positive integers no larger than n.

If there are multiple solutions, you are allowed to print any of them.

Sample test(s)

input
7

output
YES
1
4
3
6
5
2
7

input
6

output
NO

Note

For the second sample, there are no valid sequences.

/* ***********************************************
Author        :CKboss
Created Time  :2015年03月12日 星期四 19时58分14秒
File Name     :CF487C.cpp
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

typedef long long int LL;

const int maxn=100100;

int n;
LL a[maxn],inv[maxn];

bool isprime(int x)
{
	if(x==2||x==1) return true;
	if(x%2==0) return false;
	for(int i=3;i*i<=x;i+=2) if(x%i==0) return false;
	return true;

}

void solve()
{
	inv[1]=1LL;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[n%i]*(n-n/i)%n;
	a[1]=1LL; a[n]=n;
	for(int i=2;i<n;i++) a[i]=(i*inv[i-1])%n;
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%I64d\n",a[i]);
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);

	scanf("%d",&n);
	if(n==4)
	{
		puts("YES"); puts("1"); puts("3"); puts("2"); puts("4"); 
		return 0;
	}
	if(isprime(n)==false) puts("NO");
	else
	{
		puts("YES");
		solve();
	}
    
    return 0;
}