NOIP1999拦截导弹

    某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹。

  

输入导弹依次飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数)

  

输出这套系统最多能拦截多少导弹,如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

389 207 155 300 299 170 158 65 

6

2

导弹的高度<=30000,导弹个数<=20

 

很显然,dp不解释,我们得出是求最长不上升序列和最长上升序列,所以直接dp求解

代码:(请勿直接copy)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[30000];
int n=1,i,j,max1;
int f[600000];
int main()
{
    while(scanf("%d",&a[n++])!=EOF);
    n--;
    f[1]=1;                                //最长不上升子序列   
    for(i=2;i<=n;i++){f[i]=1;
         for(j=1;j<=i-1;j++)
             if(f[j]+1>f[i] && a[j]>=a[i])f[i]=f[j]+1;
        }
    max1=0;
    for(i=1;i<=n;i++)if(f[i]>max1)max1=f[i];
        cout<<max1-1<<endl;
    f[1]=1;                                   //最长上升子序列
    for(i=2;i<=n;i++){f[i]=1;
         for(j=1;j<=i-1;j++)
             if(f[j]+1>f[i] && a[j]<a[i])f[i]=f[j]+1;
        }
    max1=0;
    for(i=1;i<=n;i++)if(f[i]>max1)max1=f[i];
        cout<<max1;
    return 0;
}

 

### C++ 实现拦截导弹问题 #### 解题思路 该问题可以通过贪心算法解决。核心思想是在每次选择中尽可能多地拦截导弹,从而减少所需的拦截系统数量。具体来说: - 对于第一个子问题(求最长下降子序列),可以采用动态规划的方法来寻找能够被一套系统拦截的最大导弹数。 - 对于第二个子问题(求最少需要几套系统才能完全拦截所有导弹),则通过不断构建新的拦截系统并分配无法被当前系统处理的导弹。 #### 动态规划求解最大可拦截数目 为了找到单个系统所能拦截最多的连续导弹数量,即求给定序列中的最长严格递减子序列长度。定义 `dp[i]` 表示以第 i 枚导弹结尾时可以获得的最大拦截数,则状态转移方程如下: \[ dp[i]=\max_{j<i \text{ and } h[j]>h[i]} (dp[j]+1), \quad \forall j=0,..,i-1 \] 其中 \( h[] \) 是表示每枚导弹的高度数组。初始条件设为每个位置至少能自己构成一个单独的拦截事件,因此初始化所有的 `dp[i]=1`. ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { vector<int> heights; int n, temp; cin >> n; // 输入导弹总数 while(n--) { cin >> temp; heights.push_back(temp); } vector<int> dp(heights.size(), 1); // 初始化DP表,默认值都为1 int max_intercept = 1; for(int i = 1; i < heights.size(); ++i){ for(int j = 0; j < i; ++j){ if(heights[j] > heights[i]){ dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } max_intercept = max(max_intercept, dp[i]); } cout << "Single system can intercept at most: " << max_intercept << endl; } ``` 此部分实现了如何利用动态规划方法找出单一系统最多能拦截多少枚导弹的功能[^1]. #### 计算所需最小系统数量 针对第二问——确定完成全部拦截任务所需要的最少系统数量,这里采取了一种较为直观的方式:每当遇到一颗新导弹不能被现有任何一个正在工作的系统所覆盖时就启动一个新的系统负责它及其后续符合条件的其他导弹。这样做的依据在于新增加的一颗导弹总是会形成一个新的局部最优解的一部分,而不会影响之前已经形成的更优的整体方案。 ```cpp // 继续上面的例子... set<int> active_systems; // 存储当前活跃系统的最高拦截高度 for(auto& height : heights){ auto it = active_systems.lower_bound(height); if(it != begin(active_systems)){ --it; *it = height; // 更新对应系统的最新拦截高度 }else{ active_systems.insert(height); // 启动新系统 } } cout << "Minimum systems required to intercept all missiles: " << active_systems.size() << endl; ``` 上述代码片段展示了怎样高效地追踪和管理多个独立运作但又相互协作的拦截系统的工作流程,最终输出满足题目要求的结果[^2].
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