图 (上)

定义

图(Graph)是由定点的有穷非空集合和定点之间的边的集合组成。通常表示为G(V，E)，其中，G是一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

定义的说明

• 顶点(Vertex)：图中数据元素。
• 没有空图的概念，顶点是非空集合
• 边集可以是空的，边是用来描述顶点之间的逻辑关系。

相关术语

• 无向图

若图$G(V,E)$中，顶点$v_i$到$v_j$之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对$(v_i,v_j)$表示。若图中任意顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图(Undirected graphs)

• 有向图

若图$G(V,E)$中，顶点$v_i$到$v_j$之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc)，用有序偶 <vi,vj> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-656"> </script>表示。其中， $v_i$称为弧尾， $v_j$称为弧头。若图中任意顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图(Directed graphs)

**无向图使用的是()，有向图使用的是<>**

• 简单图

在图中，若不存在顶点到自身的边，且同一条边不重复出现，则成这样的图为简单图. 下图是非简单图

• 无向完全图

在无向图中，如果任意两个定点之间都存在边，则称为无向完全图。N个顶点的无向完全图有 条边。

$$\frac{n \times (n-1)} {2}$$

• 有向完全图

在有向图中，如果任意两个定点之间都存在方向相反的两条弧，则称为有向完全图。N个顶点的有向完全图有 条边。

$${n \times (n-1)}$$

• 稀疏图 & 稠密图

有很少条边或者弧的图称为稀疏图，反之为稠密图。这里的多与少是相对概念。

• 权

与图或者弧相关的比重或者数字叫做权。这样说，比较牵强，比如顶点是城市，边是城市之间的高速路，权就是公里数

• 网

带权的图通常称为网。

图的顶点与边间关系

• 邻接点
• 度 ： 顶点V的度是与V相关的边的数目，记为$TD(V)$,无向图中边数是个顶点度数和的一半。

$$e = \frac {1} {2} \sum_{i = 0}^nTD(V_i)$$

有向图中入度记为$ID(v)$,出度记为$OD(v)$,顶点V的度为$TD(V) = ID(V)+OD(V)$,边数e

$$e = \sum_{i = 1}^nID(V_i) = \sum{i = 1}^nOD(V_i)$$

• 路径 路径的长度是路径上的边的数目或者弧的数目.
• 回路(环)

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或者环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

连通图相关术语

• 连通 & 连通图

在无向图G中，如果顶点v到顶点v’ 有路径，则称v和v’是连通的,如果对于图中任意的两个顶点$v_i$、$v_j$都是连通的，则G是连通图(Connected Graph)

在有向图G中，如果顶点$v_i$到顶点$v_j$ 和顶点$v_j$到顶点$v_i$都存在 路径，则G是强连通图(Connected Graph)

生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含图中全部的N个顶点，但是只有足以构成一棵树的n-1条边。