CLRS 14.3区间树

14.3-1
在CLRS 13.2节中的LEFT-ROTATE最后添加两行代码：

y.max = x.max
x.max = max(α.max,β.max,x.int.high)

14.3-2
将书上的INTERVAL-SEARCH第三行的if语句中的 $\ge$ 改为 $>$ 即可。

14.3-3
对于INTERVAL-SEARCH，首先检查区间 $x$ 是否和被查询区间 $i$ 重叠，如果不重叠，要么转向左子树要么转向右子树。若区间重叠， 并且是右子树的区间和区间 $i$ 重叠，由于关键字是低端点，我们返回的就是最小低端点区间；但若是有左子树区间和区间 $i$ 重叠，返回的就有可能不是最小低端点区间。所以需要先检查是否有左子树区间和区间 $i$ 重叠。

MIN-INTERVAL-SEARCH(T, i)
    return MIN-INTERVAL-SEARCH-FROM(T, T.root, i)

MIN-INTERVAL-SEARCH-FROM(T, x, i)
    if x.left ≠ T.nil and x.left.max ≥ i.low
        y = MIN-INTERVAL-SEARCH-FROM(T, x.left, i)
        if y ≠ T.nil
            return y
        elseif i overlaps x.int
            return x
        else return T.nil
    elseif i overlaps x.int
        return x
    else return MIN-INTERVAL-SEARCH-FROM(T, x.right; i)

时间复杂度是 $O(\lg n)$。

14.3-4

INTERVAL-OVERLAP-LIST(T, x, i)
    if i overlaps x.int
        print x
    if x.left != T.nil and x.left.max ≥ i.low
        INTERVAL-OVERLAP-LIST(T, x.left, i)
    if x.int.low ≤ i.high and x.right != T.nil and x.right.max ≥ i.low
        INTERVAL-OVERLAP-LIST(T, x.right, i)

14.3-5
先找到和区间 $i$ 的低端点相等的区间（由于低端点是关键字），再比较找到的这个区间的高端点和区间 $i$ 的高端点是否相等。

INTERVAL-SEARCH-EXACTLY(T, i)
    x = SEARCH(T, i.low)    //普通红黑树查找
    if x.high == i.high
        return x
    return T.nil 

14.3-6
1、基础数据结构
以集合中的数据作为关键字的红黑树。SEARCH和普通红黑树的TREE-SEARCH一样。
2、附加信息
每个结点 $x$ 的扩张属性如下：
$x.min.gap$：记录以x为根结点的树的min-gap，若 $x$ 为叶子结点则min-gap=∞ ；
$x.min.val$：记录以x为根结点的树中最小的关键字；
$x.max.val$：记录以x为根结点的树中最大的关键字；
3、信息维护
上面三个属性可以直接从结点和结点的孩子计算出来，从定理14.1可以知道插入删除操作只需 $O(\lg n)$ 时间。

$$x.min.val=\left\{ \begin{aligned} &x.left.min.val &\quad 当存在左子树 \\ &x.key&\quad 其他 \end{aligned} \right.$$
$$x.max.val=\left\{ \begin{aligned} &x.right.max.val &\quad 当存在右子树 \\ &x.key&\quad 其他 \end{aligned} \right.$$
$$x.min.gap=min\left\{ \begin{aligned} &x.left.min.gap &\quad 左子树空时为\infty \\ &x.right.min.gap&\quad 右子树空时为\infty\\ &x.key-x.left.max.val&\quad 左子树空时为\infty \\ &x.right.min.val-x.key&\quad 右子树空时为\infty \end{aligned} \right.$$
4、新操作
Min_Gap()：返回根结点的min-gap值，运行时间 $O(1)$。
返回最接近的差值时间是 $O(\lg n)$。

14.3-7
基本思想是：采用一颗区间树，树中每个结点存放的区间是矩形的 $y$ 区间。然后沿 $x$ 轴用一条扫描线从左向右移动，将当前所有和扫描线相交的矩形都放在区间树中，因此在区间树中任意和 $y$ 区间重叠的矩形就是重叠矩形。具体如下：
1.按矩形的 $x$ 轴坐标排序（每个矩形有两条平行 $y$ 轴的边，举个例子，现在有三个矩形，分别是（1,5）、（3,4）、（2,7），那么排序就是（1,1），（2,3），（3,2），（4,2），（5,1），（7,3），其中（1,1）中的后面一个 1 表示是第一个矩形，其余类似）。
2.扫描排序列表（按 $x$ 轴从小到大），当遇到矩形的左边界时，在区间树中检查是否有和此矩形 $y$ 区间相交的矩形，并将此矩形插入到区间树中；当遇到矩形的右边界时，从区间树中删除此矩形。
时间：排序是 $O(\lg n)$，区间树操作 $O(\lg n)$，总时间是 $O(\lg n)$。