(2)排序之堆排序

准备工作

1.堆的概念：

堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因而实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。（wiki上的定义）

在堆排序中，我们用到的是二叉堆（是一棵二叉树的一种）。

2.最大堆（属于二叉堆）：

每个父结点的值都大于它的左右两个子结点的值，在根节点存储着堆里所有数的最大值。

堆排序

1.堆修复：

假设现在我们已经得到了一个堆，这个堆除了根节点外均符合最大堆的定义。

   比如：            7(该点不满足条件) 

                       /    \

                     8      5

                   /   \    /  \

                 6    2  1   3

               /   \

              0   4

此时我们要将其修复成一个最大堆，叫做堆修复。

设堆存在数组a[]中，下标从1开始，共有 n 个节点。

我们先比较一下根节点和其左右儿子的大小，找出最大的那个数的下标largest，有两种情况：

（1）largest 不为根节点（即是左右儿子中的一个）

         此时，root （根节点）和 a[largest]交换，之后对largest继续修复（采用递归）。

（2）largest是根节点，此时表明修复堆已经完成。

这样是不是堆就修复完了呢？  当然不是。

注意到我们如果修复到了叶子节点，此时该修复工作也完成了，所以当左右某个儿子的下标大于了n时，本次修复结束（我们是采用递归来修复的，所以本次修复结束不意味着总修复结束）。

接下来我们就可以用代码实现了：

void repair_heap(int a[], int pos, int sz)
{
    int l = pos * 2;
    int r = pos * 2 + 1;
    int largest;

    if(l <= sz && a[l] > a[pos])
        largest = l;
    else largest = pos;

    if(r <= sz && a[r] > a[largest])
        largest = r;

    if(largest != pos)
    {
        swap(a[largest], a[pos]);
        repair_heap(a, largest, sz);
    }
}

不难看出，这一步的复杂度为O（lgn）.

sz(size)的作用在后面我们会看到。

2.建立最大堆：

建立最大堆我们也是采用的递归方式。建堆其实是个比较容易的过程，按数组元素的初始顺序直接建立就好。

将堆修复成最大堆也不难：我们从叶子节点开始，逐一向上修复堆。

代码实现：

void build_maxheap(int a[], int pos)
{
    int l = pos * 2;
    int r = pos * 2 + 1;
    if( l <= n )
        build_maxheap( a, l );
    if( r <= n)
        build_maxheap( a, r );
    repair_heap(a, pos, n);
}

这一步的复杂度为 O（n）.

3.排序：

我们建立了最大堆以后根节点的值就是最大值，我们将这个最大值存储后排出堆，再找剩下树的最大值，就可以得到第二大值，以此类推，我们将得到有序列。

怎么实现将最大值存储后再排出堆呢？

我们将第 n 个元素和 a[1] 交换，然后再让堆的节点数减1（这个就通过sz来实现，我们尽量不改变n）。

接下来我们从a[ 1 ]开始修复堆就行了，以此循环，最终达到排序的效果。

代码如下：

void heap_sort(int a[])
{
    int heapsize = n;
    while(heapsize > 1)
    {
        swap(a[heapsize--], a[1]);
        repair_heap(a, 1, heapsize);
    }
}

这一步复杂度为 O（nlgn）。