【Algorithm】棋盘覆盖问题

最新推荐文章于 2020-12-17 17:30:59 发布
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分类专栏： 【Algorithm】递归 文章标签： Algorithm 分治 递归
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/mummyding/article/details/49231533
本文探讨了棋盘覆盖问题，这是一个经典的算法问题。当棋盘中有一个特殊方格时，需要用L型骨牌覆盖所有其他方格。作者尝试了两种方法，首先是效率低下的暴力遍历，然后转向更高效的分治与递归策略。通过将棋盘划分为四块并递归处理，实现了问题的解决。文章提供了问题分析和简单的代码实现思路。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

这是我优快云博客上第100篇原创博文，之前是计划写一篇关于Android源码分析的博文，但是Android源码还在阅读中，目前还没有较好的体会要分享。今天在做一道算法题，许久没写，有点生疏了。

 题目描述如下:

在一个2^k×2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^k种，因而有4^k种不同的棋盘，图(a)所示是k=2时16种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用图(b)所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。



我尝试了两种实现方法。第一种是暴力地遍历，很显然，这中方法效率是极低的同时也是比较麻烦的。遍历的策略比较重要，不能重复也不能遗漏。我写完后测试，图稍微大一点就直接爆栈，还不仅仅是效率低的问题。递归的层次深，明显吃不消。

然后我尝试了第二种方法，分治&递归。这也是大部分人的解法，效率自然是数量级的提升。

大体分析如下：

1.分治首先自然是要进行划分。 我将棋盘横竖对切分为四块。这样就分出一块有一个特殊方格的和三个没有特殊方格的

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棋盘覆盖问题与可视化代码演示
`or 1 or 不正经の泡泡
03-01 2426
前言 不知不觉这篇博客是我在优快云公开发布的第200篇博客的，嘚瑟一波~ 棋盘覆盖 今天要做的是一个棋盘覆盖的玩意，这个呢，也是某位老师留的一个小问题，那么这个就让小爷来终结吧~ 描述 这个很简单，就是那啥有一个棋盘，然后这个棋盘是 2^k * 2^k 大小的，然后有一个障碍物，现在要你再不覆盖障碍物的情况下，去使用四种骨牌去覆盖棋盘。如下图： 题目就是这个题目，思路也是典型的那个分治。当然那个这个也是说一下这个问题，怎么个分治法，策略是什么。 思路 说到这个分治，我们必然要用到递归，说到递归我们必然要
棋盘覆盖问题 - 分治法（c++）
建元的专栏
03-15 2516
c++ 分治法 棋盘覆盖问题
棋盘覆盖问题算法分析与实现（递归）
修炼中的kongkong
05-12 3815
*昨天上传的代码，经过再次测试发现有问题，其中对边界、终止条件的判断都有错误。。。→_→，今天重新改正，对之前看过代码的童鞋表示sorry。。。（2017.5.13 16：24）*
棋盘覆盖问题
kungfu panda
03-02 1269
在一个2^k×2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^k种，因而有4^k种不同的棋盘，图4.10(a)所示是k=2时16种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用图4.10(b)所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
棋盘覆盖综合性问题，多种解法
wangjianbing1998的博客
08-26 8286
综合性质的棋盘覆盖知识点，希望对你有帮助！！！
[NOI1999][openjudge]棋盘分割（数学相关+dp）
zyf2000
10-26 1226
题目描述传送门题解NOI1999的dp都好厉害呀= = 一定要认真读题！ 先看这个均方差的式子，可以进行化简： δ=∑ni=1(xi−x¯)2n−−−−−−−−−√\delta=\sqrt {\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)^2\over n} δ2=1n∑ni=1(xi−x¯)2\delta^2={1\over n}\sum_{i=1}^n (x_i-\over
python实现棋盘覆盖问题源码.zip
11-15
在IT领域，棋盘覆盖问题是一个经典的组合优化问题，它源于数学和计算机科学。这个问题的基本概念是找到一种方法，用最少数量的不可重叠的正方形覆盖一个棋盘的每个单元格，通常考虑的是8x8的国际象棋棋盘。Python...
设计算法解决最大子段和或棋盘覆盖问题
12-03
本实验聚焦于“设计算法解决最大子段和或棋盘覆盖问题”，这是一个结合了分治策略和优化技巧的综合性任务。让我们深入探讨这两个主题。 **最大子段和问题** 最大子段和（Maximum Subarray Problem）是一个经典的...
棋盘覆盖（非递归）
09-07
棋盘覆盖问题的非递归方法源代码，输出为棋盘格，C++，可运行
棋盘覆盖算法演示程序
10-11
描述棋盘覆盖算法的演示程序，辅助理解！
棋盘覆盖算法（Ｃ语言）
10-10
一个小算法，拿到网上，我相信会有用的，需要的朋友顶一下啊，谢谢了
分治递归法求棋盘覆盖问题
Lerbronjames的博客
12-15 1312
分治递归法求棋盘覆盖问题 问题描述： 在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。 当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘(a)所示。 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一...
棋盘覆盖 算法分析、设计与实现（Java）
Lance的专栏
01-02 2823
该篇虽然与很多的博客、解说一样讲的都是棋盘覆盖的解法。但是，该篇更多地倾向于“证明”，这也是我与很多读者都想知道的，而不是开篇就上代码。     目录 0，问题描述... 1 1，相关博客... 1 2，提出命题... 1 3，命题证明... 1 4，分析算法... 2 5，代码实现... 2     0，问题描述 http://baike.baidu.com
[OpenJudge-NOI]棋盘问题 回溯
CyuuniChin
11-04 852
代码#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> using namespace std;char a[100][100]; int vis[100],ans,n,k;int Backtrack(int cur,int num) { if(num>k){ ans++; return 1;
棋盘覆盖——流程图（补充转载两篇经典博客）
一只活活泼泼快快乐乐的萨摩耶的博客
12-17 1037
这篇写的巨好
棋盘覆盖问题的算法设计
02-02 2323
//tr:棋盘左上角方格的行号 //tc:棋盘左上角方格的列号 //dr:特殊方格所在的行号 //dc:特殊方格所在的列号 //size:棋盘的边长 int title = 0; void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) { if(size == 1) return; int t = ++tile;//L型骨牌号
棋盘覆盖二分图
最新发布
03-17
### 背景介绍 棋盘覆盖问题是经典的组合优化问题之一，通常可以通过二分图匹配来解决。具体来说，将棋盘上的每一个格子看作一个节点，并通过某种规则构建一张二分图。之后利用匈牙利算法或其他方法求解该二分图的最大匹配。 --- ### 解决方案概述 #### 构建二分图 在一个 $n \times n$ 的棋盘中，可以按照如下方式定义二分图： - 将棋盘中的每一行视为左集合的一部分； - 将棋盘中的每一列视为右集合的一部分； - 如果某个位置 $(i, j)$ 可以被覆盖，则在对应的行 $i$ 和列 $j$ 之间建立一条无向边。 这样就得到了一个二分图模型[^1]。 #### 匈牙利算法的应用 为了找到棋盘上能够放置的最多不重叠覆盖物的数量，实际上就是寻找这个二分图的最大匹配数。匈牙利算法是一种有效的解决方案，它基于增广路径的概念逐步扩展当前匹配直到无法继续改进为止[^2]。 以下是具体的实现过程： --- ### Python 实现代码 ```python from collections import defaultdict, deque def hungarian_algorithm(graph, n): """ 使用匈牙利算法计算二分图的最大匹配。 :param graph: 邻接表表示的二分图 {left_node: [right_nodes]} :param n: 左侧顶点数量 :return: 最大匹配的结果列表 match[i]=j 表示左侧 i 连接到右侧 j """ def bfs(): queue = deque() for u in range(n): if not visited[u]: dist[u] = 0 queue.append(u) else: dist[u] = float('inf') while queue: u = queue.popleft() if dist[u] < float('inf'): for v in graph.get(u, []): w = match[v] if w != -1 and dist[w] == float('inf'): dist[w] = dist[u] + 1 queue.append(w) return dist[-1] != float('inf') def dfs(u): nonlocal visited for v in graph.get(u, []): w = match[v] if w == -1 or (dist[w] == dist[u]+1 and dfs(w)): match[v] = u visited[u] = True return True dist[u] = float('inf') return False m = max(max(vv) for vv in graph.values()) + 1 if graph else 0 match = [-1]*m result = [] visited = [False]*n dist = [float('inf')]*n for _ in range(m): if bfs(): visited = [False]*n for u in range(n): if not visited[u] and dfs(u): pass else: break for key, value in enumerate(match): if value != -1: result.append((value, key)) return result # 示例输入：构造一个简单的棋盘并转化为二分图 if __name__ == "__main__": # 假设有一个 4x4 棋盘，部分位置不可用 board_size = 4 unavailable_positions = [(1, 1), (2, 3)] # 不可用的位置坐标 # 创建邻接表形式的二分图 bipartite_graph = defaultdict(list) for row in range(board_size): for col in range(board_size): if (row, col) not in unavailable_positions: bipartite_graph[row].append(col) # 执行匈牙利算法得到最大匹配 matching_result = hungarian_algorithm(bipartite_graph, board_size) print("最大匹配结果:", matching_result) ``` 上述程序实现了如何通过匈牙利算法解决棋盘覆盖问题的核心逻辑。 --- ### 结果分析 运行以上代码后会输出棋盘上可放置的最大非冲突覆盖数目及其对应的具体位置关系。这正是我们期望获得的信息——即满足条件下的最优布局策略。 --- ### 注意事项 尽管此方法适用于大多数标准情况，但在实际应用过程中还需注意边界处理以及特殊情形（比如完全空白或者全满状态）。此外，在大规模数据集下性能可能成为瓶颈，因此需考虑更高效的替代方案如 Hopcroft-Karp 算法等。 ---
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