条件概率、概率乘法、全概率、贝叶斯公式

最新推荐文章于 2025-06-25 18:08:08 发布

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本文深入探讨了概率论中的关键公式，包括条件概率、概率乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式。通过实例解释了先验概率与后验概率的概念，并详细阐述了这些公式在实际问题解决中的应用。

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概率的几个公式

（1）条件概率：

在条件A发生的条件下，B发生的概率：

$\large P(B\mid A) =\frac{P(AB)}{P(A)}$

（2）概率乘法公式：

如果 $P(A) > 0$ ，则 $\large P(AB) = P(A)P(B\mid A)$

如果 $P(A_1...A_{n-1}) > 0$ ，则 $P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)... P(A_n\mid A_1...A_{n-1})$

（3）全概率公式：

$\large P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)$

全概率公式用于计算某个“结果”B发生的可能性大小。

（4）贝叶斯公式（又称逆概公式）：

如果 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i = \Omega ,\; A_iA_j= \varnothing,\; P(A_i) > 0$ ，则对任一事件B，只要 P(B) > 0 ，就有：

$P(A_j\mid B) = \frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)} \;\;(i,j=1,2,...,n)$

可以看到分母就是全概率公式，分子就是分母求和中的某一项。

应用

P(B)与P(B|A)的区别联系：前者P(B)是指在样本空间 $\Omega$ 下计算的概率，后者P(B|A)是在A已经发生的条件下计算的概率。
全概率公式用于计算某个“结果”B发生的可能性大小。如果一个结果B的发生总是与某些前提条件 $A_i$ 相联系，那么在计算P(B)时，我们总是用 $A_i$ 对B分解：

$B= \bigcup_{i=1}^{\infty }A_iB$

应该使用全概率公式计算P(B)，这叫全集分解法。如果在B发生的条件下探求导致这一结果的各种“原因” $A_i$ 发生的可能性大小 $P(A_i\mid B)$ ，则要应用贝叶斯公式。

贝叶斯先验和后验概率

（1）先验概率：是指根据以往经验和分析得到的概率。

比如抛一枚硬币，得到正面的概率为1/2.

（2）后验概率：是指事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小。（贝叶斯公式求解）

参考：

[1] 张宇概率与数理统计

[2] 贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率)

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