水题poj1423 解题报告

最新推荐文章于 2019-10-13 15:43:43 发布

Yonah潇

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分类专栏：解题报告文章标签： poj 数学计算机

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本文介绍了一种通过数学公式和算法优化的方法，解决大规模阶乘位数计算问题，避免了直接高精度模拟带来的超时风险。通过引入自然对数和特殊数学常数，实现高效计算阶乘位数，特别适用于大规模数据处理场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

poj1423是一道纯数学题目，原题的意思是输入一个数1 <= n <= 10^7 ，即需要用long来存储n，然后输出它的阶乘结果的位数。

这道题目的数据庞大，达10^7，高精度模拟显然不行。因此n我们必须另外想方法。

要知道一个数字的位数是多少，我们可以用log10函数求得。例如，对于一个数，N=10，10!=3628800，而log10(3628800)=6.559763033，那么只要将这个数向上取整，就是7，就是10!的位数。

于是我们可以得到 log10(n!)=log10(1*2*3…*n)=log10(1)+log10(2)+…+log10(n)

但是用将一个一个数累加明显很超时，所以不能采用这种方法。

《计算机程序设计艺术》中给出了另一个公式

n! = sqrt(2*π*n) * ((n/e)^n) * (1 + 1/(12*n) + 1/(288*n*n) + O(1/n^3))

π = acos(-1)

e = exp(1)

两边对10取对数

忽略log10(1 + 1/(12*n) + 1/(288*n*n) + O(1/n^3)) ≈ log10(1) = 0

得到公式

log10(n!) = log10(sqrt(2 * pi * n)) + n * log10(n / e)。

值得注意的是当n= 1的时候，输出结果为负，取整会为0。所以可以利用if语句来输出n= 1的情况。并且在log10(n!)的结果需要加1，再进行取整。

PS：反三角函数：asin(double) acos(double) atan(double)；

自然数e=exp（1.0）；

以下是源代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const double pi = acos(-1.0);	
const double e = exp(1.0);		
int main()
{
	int n;
	long num;
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> num;
		if(num == 1)
			cout << 1 << endl;
		else
			cout << int (log10(sqrt(2 * pi * num)) + num * log10(num / e) + 1) << endl;		//在log10(n!)的结果加上1，并强制转换类型取整
	}
	return 0;
}