合并石头动态规划

最新推荐文章于 2024-10-22 11:09:09 发布

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博客围绕相邻石子合并问题展开，规定每次只能合并相邻2堆石子，合并花费为新堆石子数量。作者指出可借鉴矩阵连乘方式解决该问题，设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并最优值，sum[i][j]表示总数量，并给出状态转移公式。

作者：JeanCheng
来源：优快云
原文：https://blog.youkuaiyun.com/gatieme/article/details/49206193
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！

相邻合并
题目
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：

每次只能移动相邻的2堆石子合并
合并花费为新合成的一堆石子的数量。

求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

分析
我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：

代码
---------------------

#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

const int INF = 1 << 30;
#define MIN(a, b)  ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define N 205

int dp[N][N];
int sum[N];
int a[N];

int getMinval(int *a, int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        dp[i][i] = 0;
    }

    for(int v = 1; v < n; v++)
    {
        for(int i = 0;i < n-v; i++)
        {
            int j = i + v;
            dp[i][j] = INF;
            int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0);
            for(int k = i; k < j; k++)
                dp[i][j] = MIN(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + tmp);
        }
    }
    return dp[0][n-1];
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for(int i = 0;i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
        }

        sum[0] = a[0];

        for(int i = 1; i< n ; i++)
        {
            sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        }
        printf("%d\n",getMinval(a,n));
    }
    return 0;
}

优化

#include <string.h>
#include <stdio.h>

const int INF = 1 << 30;
#define N 1005

int dp[N][N];
int p[N][N];
int sum[N];
int n;

int getMinval()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        dp[i][i] = 0;
        p[i][i] = i;
    }
    for(int len=1; len<n; len++)
    {
        for(int i=1; i+len<=n; i++)
        {
            int end = i+len;
            int tmp = INF;
            int k = 0;
            for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)
            {
                if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)
                {
                    tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];
                    k = j;
                }
            }
            dp[i][end] = tmp;
            p[i][end] = k;
        }
    }
    return dp[1][n];
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        sum[0] = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int val;
            scanf("%d",&val);
            sum[i] = sum[i-1] + val;
        }
        printf("%d\n",getMinval());
    }
    return 0;
}