矩阵奇异值分解

最新推荐文章于 2024-03-10 21:39:24 发布

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分类专栏：矩阵分析文章标签：奇异值分解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012284960/article/details/72785644

本文介绍了矩阵的奇异值分解（SVD），这是一种适用于非方阵的类似特征值分解的方法。文中阐述了特征值与特征向量的概念，并详细解释了奇异值分解的定义，即矩阵A可以表示为VΣUT的形式，其中V和U是正交矩阵，Σ是对角矩阵。此外，还提及了矩阵的伪逆（Pseudo逆）的概念，它是基于奇异值分解定义的。参考了《线性代数》和《矩阵论》的相关内容。

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Notations:
(1) $\text{Diag}(\boldsymbol{x})$ 表示以矢量为矩阵对角线元素构成对角阵，如 $\text{Diag}(a,b)=\left({ \begin{array}{cccc} a&0 \\0&b \end{array} }\right)$ ；
(2)粗体符号表示矩阵或者矢量，如 $\boldsymbol{x}$ 表示矢量， $\boldsymbol{A}$ 表示矩阵。

特征值与特征向量

　　矩阵的乘法对应着一种线性变换使得原向量在方向和长度上发生变化，比如 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\quad (\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times n})$ ， $f$ 表示从 $\mathbb{R}^n$ 空间到 $\mathbb{R}^m$ 空间的一种线性映射关系。我们考虑 $\boldsymbol{A}$ 是方阵的情况。

y = A x (1)

$\begin{align} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{Ax} \end{align}$
其中

y∈Rmy∈Rm $\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^m$ 。矩阵

AA $\boldsymbol{A}$ 与向量

xx $\boldsymbol{x}$ 相乘，表示对

xx $\boldsymbol{x}$ 进行一次方向和长度上的变换，即向量

yy $\boldsymbol{y}$ 。
例如：

A=(a11,a12a21,a22)A=(a11,a12a21,a22) $\boldsymbol{A}=\left({\begin{array}{cccc}a_{11},a_{12}\\a_{21},a_{22}\end{array}}\right)$ ,

x=(b1,b2)Tx=(b1,b2)T $\boldsymbol{x}=(b_1,b_2)^\text{T}$ ，则

y = (a 11 b 1 + a 12 b 2 a 21 b 1 + a 22 b 2) (2)

$\begin{align} \boldsymbol{y}=\left({ \begin{array}{cccc} a_{11}b_1+a_{12}b_2\\ a_{21}b_1+a_{22}b_2 \end{array} }\right) \end{align}$

|x|=b21+b22−−−−−−√, |y|=(a11b1+a12b2)2+(a21b1+a22b2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√|x|=b12+b22, |y|=(a11b1+a12b2)2+(a21b1+a22b2)2 $|\boldsymbol{x}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2},\ |\boldsymbol{y}|=\sqrt{(a_{11}b_1+a_{12}b_2)^2+(a_{21}b_1+a_{22}b_2)^2}$