【Algorithm】习题8.14证明

0. 题目描述

Sanjoy Algorithm: P267, 8.14

Prove that the following problem is NP-complete: given an undirected graph $G = (V, E)$ and an integer $k$, return a clique of size $k$ as well as an independent set of size $k$, provided both exist.

1. 基本概念

要证明上述题目，得先了解几个基本概念。

1.1 团(clique)

在图论领域的一个无向图中，满足两两之间有边连接的顶点的集合，被称为该无向图的团。

1.2 独立集(independent set)

在图论理论中，独立集或稳定集(stable set)是图的一个顶点集，且这个集合中，任意两个顶点都不相邻。也就是说，在这样一个集合$S$ 中，任意两个顶点之间都没有边相连。独立集的规模(size)指的是这个集合所包含的顶点的个数。

1.3 P, NP, NP-hard, NP-complete

• P问题: 一个问题可以在多项式 $O(n^k)$ 的时间复杂度内解决
• NP问题: 一个问题的解可以在多项式的时间内被证实或证伪
• NP-hard问题: 任意NP问题都可以在多项式时间内归约为该问题。归约的意思是为了解决问题A，先将问题A归约为另一个问题B，解决问题B同时也间接解决了问题A。
• NP-complete问题: 既是NP问题，也是NP-hard问题。

2. 如何证明问题是NP-complete的

根据上面对于NP-complete问题的定义，我们可以看出，要证明一个问题是NP-complete的，那么，需要证明如下两点：

证明它是个NP问题
更具体一点，对于给定的问题 C