第十章_概率_2019-03-30

介绍

1.在笔试面试中常作为客观问题出现（选择题）。
2、在笔试中往往出现概率、期望的计算。
3、往往利用古典概率进行计算（组合数学）。

概率的应用

1、利用概率改进著名算法（快速排序）
利用概率产生比较好的划分值，最终使算法的期望时间复杂度为O(n * logn)，所以概率一般用来打乱输入，打乱输入之后算法的复杂度和输入的分布没有关系，这样从概率上放置最坏情况的出现
2、随机数发生器
要产生纯随机序列是一个比较难的过程，通常面试中会给定一个随机数的发生器，让面试者利用这个发生器构造出另一个随机数的发生器，工程中，概率主要用于随机采样，即面试中会问如何利用一个随机数的发生器对一批数据进行采样。

经典题

• 有8支球队，其中有3支强队和5支弱队，随机把它们分成4组进行比赛，则强强相遇的概率是多少
  1、总共的分法有：7 * 5 * 3 * 1 = 105种
  2、两强不相遇的分法有： 种
  3、两强相遇的概率为 (105 - 60) / 105
• 3只蚂蚁，从正三角形的三个顶点出发，它们移动的速度相同，则碰头的概率是多少
  1、总共有2³种走法
  2、不相遇的走法有2种
  3、相遇的概率为：(8 - 2) / 8
• 一个地区重男轻女，每个家庭都是一直生小孩直到生男孩为止，问在足够长的时间后，该地区的男女比例是多少
  n / 2的家庭生了一个男孩，孩子数位1
  n / 4的家庭生了一个女孩一个男孩，孩子数位2
  n / 8的家庭生了两个女孩一个男孩，孩子数位3
  ……
  n / 2^k的家庭生了k - 1个女孩一个男孩，孩子数位k
  则足够长的时间后该地区孩子总数为1 * n / 2 + 2 * n / 4 + 3 * n / 8 + …… + k * n / 2^k = 2 * n
  每个家庭有一个男孩，所以共有n个男孩，所以男女比例为1 ：1
• 给定一个等概率随机产生1 ~ 5的随机函数f(n)，除此之外不能再用其他随机机制，请实现随机产生1 ~ 7的随机函数
  1、f'(n) = f(n) - 1：产生0 ~ 4的随机数
  2、f(n) = 5 * f(n)：随机产生1、5、10、15、20、25中的数
  3、f(n) = f(n) + f'(n)：产生1 ~ 25的随机数
  4、用f(n)可产生1 ~ 20中的随机数（如产生随机数大于20则舍弃）
  5、f(n) = f(n) % 7：产生0 ~ 6之间的随机数
  6、f(n) = f(n) + 1：产生1 ~ 7之间的随机数
• 给定以p概率产生0，以1 - p概率产生1的随机函数，p固定且未知，请实现等概率产生0 1随机数的随机函数，不可以使用额外的随机机制
  1、利用随机函数产生两个数，则产生序列为0 1和1 0的概率相等且为：p * (1 - p)
  2、两次利用随机函数产生一个序列，若产生0 1记0，若产生1 0记1，其他则舍弃