重采样原理及仿真

一、前言

​ 重采样分为上采样和下采样，下采样时需要对信号进行抽取，上采样时需要对信号进行插值，下面将介绍一种简单的重采样方式。

二、定义

​ 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取(decimatim )”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值(interpolation)。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

三、算法

1、信号的抽取

​ 设$x(n)$为数字信号，欲使$f_s$减少$M$倍，最简单的方法是将$x(n)$中的每个点中抽取一个，依次组成一个新的序列$y(n)$，即
$$y(n)=x(Mn)n\ge 0\text{\hspace{1em}(式1)}$$
此时，$y(n)$和$x(n)$的DTFT有如下关系（详见附A）：
$$Y(e^{jw})=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(e^{j(w-2\pi k)/M})\text{\hspace{1em}(式2)}$$
其含义是，将信号$x(n)$做$M$倍的抽取后，所得信号$y(n)$的频谱等于原信号$x(n)$的频谱先做$M$倍的扩展，再在$w$轴上做$\frac{2\pi }{M}(k=1,2,...,M-1)$的移位后再迭加。如下图所示。

​ 由抽样定理，在由$x(t)$抽样变成$x(n)$时，若保证$f_s\ge 2f_c$，那么抽样的结果不会发生频谱混迭。对$x(n)$做$M$倍抽取得到$y(n)$，必须满足$f_s\ge 2M{f}_c$。

​ 为了防止抽取后在$Y(e^{jw})$中出现混迭的方法是在对$x(n)$抽取前先做低通滤波，压缩其频带。

​ 令$h(n)$为一理想低通滤波器，即
$$H(e^{jw})=\{\begin{array}{ll}1& |w|\le \frac{2\pi }{M}\\ 0& others\end{array}$$
​ 令滤波后的输出为$v(n)$，则
$$v(n)=\sum _{k=0}^{\infty }h(k)x(Mn-k)$$
$$=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)h(Mn-k)$$
​ 得出
$$Y(z)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(z^{\frac{1}{M}}{W}_M^k)H(z^{\frac{1}{M}}{W}_M^k)$$
$$Y(e^{jw})=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(e^{j(w-2\pi k)/M})H(e^{j(w-2\pi k)/M})$$

2、信号的插值

​ 将$x(n)$的采样率$f_s$增加$L$倍，即$L{f}_s$，最简单的方法就是将$x(n)$每两个点之间补上$L-1$个零。设补零后的信号为$v(n)$，则
$$v(n)=\{\begin{array}{ll}x(n/L)& n=0,\pm L,\pm 2L,...\\ 0& others\end{array}$$
由于
$$V(e^{jw})=\sum _{n=0}^{\infty }v(n)e^{-jwn}=\sum _{n=0}^{\infty }x(n/L)e^{-jwn}$$$$=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)e^{-jwkL}$$
即
$$V(e^{jw})=X(e^{jwL})$$
同理
$$V(z)=X(z^L)$$
​ $X(e^{jw})$的周期是$2\pi$，$X(e^{jwL})$的周期是$2\pi /L$，$V(e^{jw})$周期也是$2\pi /L$。上式的含义是在$-\pi \sim \pi$的范围内，$X(e^{jw})$的宽带被压缩了$L$，因此，$V(e^{jw})$在$-\pi \sim \pi$内包含了$L$个$X(e^{jw})$的压缩样本（详见仿真）。多余的$L-1$个周期称为$X(e^{jw})$的映像，我们要设法去除这些映像。

​ 实际上，用塞进零的方法实现上采样是毫无意义的，因为补零是不可能增加信息的。需要对用$x(n)$中的点对这些零点作出插值，实现插值的方式是用$v(n)$和一低通滤波器做卷积。

​ 令
$$H(e^{jw})=\{\begin{array}{ll}C& |w|\le \frac{\pi }{L}\\ 0& others\end{array}$$
​ 其中，C是标定因子。令$v(n)$通过$h(n)$后的输出为$y(n)$，这样滤波器的作用是去除了$V(e^{jw})$中多余的映像，另一方面，也实现了对$v(n)$中的零值点插值。

​ 因为
$$Y(e^{jw})=H(e^{jw})=cX(e^{jw})|w|\le \frac{\pi }{L}$$
​ 及
$$y(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }Y(e^{jw})dw$$
​ 所以
$$y(0)=\frac{c}{2\pi }{\int }_{-\pi /L}^{\pi /L}X(e^{jw})dw$$
$$=\frac{c}{2\pi L}{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{jw})dw=\frac{c}{L}x(0)$$
这样，若取$c=L$，则可以保证$y(0)=x(0)$。
$$y(n)=v(n)\ast h(n)=\sum _{k}v(k)h(n-k)$$
$$=\sum _{k}x(k/L)h(n-k)$$
即
$$y(n)=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)h(n-kL)$$

3、python仿真

实验方式：

​ 对5Hz的正弦信号进行抽取和插值实验，倍数M=2

（01）抽值

从上到下依次是：

01、5Hz正弦信号 & 频谱

02、对01隔一置零 & 频谱

03、对01隔一抽值 & 频谱

04、对03低通滤波 & 频谱

（02）插值

从上到下依次是：

01、5Hz正弦信号 & 频谱

02、对01隔一插零 & 频谱

03、对02低通滤波 & 频谱

（3）失真初探

对同一段音频，进行重复的下采样上采样，在100次时，高频部分出现失真，不过不明显。

4、总结

简单的总结一下：

​ 本文档介绍的是一种简单的信号下采样和上采样的算法。下面对上采样和下采样步骤进行简单的概括：

下采样：

​ 01、低通

​ 02、抽值

上采样：

​ 01、插值

​ 02、低通

参考文献

https://blog.youkuaiyun.com/shenziheng1/article/details/53373807

附

A

推导公式：
$$y(n)=x(Mn)\text{\hspace{1em}(A.1)}$$
其中的$y(n)$和$x(n)$在DTFT有如下关系：
$$Y(e^{jw})=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(e^{j(w-2\pi k)/M})\text{\hspace{1em}(A.2)}$$
证明：$y(n)$的$z$变换为
$$Y(z)=\sum _{n=0}^{\infty }y(n)z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }x(Mn)z^{-n}\text{\hspace{1em}(A.3)}$$
定义一个中间变量$x_1(n)$：
$$x_1(n)=\{\begin{array}{ll}x(n)& n=0,\pm M,\pm 2M,...\\ 0& others\end{array}\text{\hspace{1em}(A.4)}$$
$x_1(n)$的采样率为$f_s$，而$y(n)$的采样率是$f_s/M$。

显然，$y(n)=x(Mn)=x_1(Mn)$，有
$$Y(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}_1(Mn)z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}_1(n)z^{-n/M}\text{\hspace{1em}(A.5)}$$
即
$$Y(z)=X_1(z^{1/M})\text{\hspace{1em}(A.6)}$$
现接下来是找到$x_1(z)$和$x(z)$之间的关系。

​ 令$p(n)={\sum }_{i=0}^{\infty }\sigma (n-Mi)$为一脉冲序列，它在$M$的整数倍处的值为1，其余皆为0，其抽样频率为$f_s$，由Possion和公式及DFS理论，$p(n)$可以表示为
$$p(n)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}{W}_M^{-kn},W_M=e^{-j2\pi /M}\text{\hspace{1em}(A.7)}$$
因为$x_1(n)=x(n)p(n)$，所以
$$X_1(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)p(n)z^{-n}=\frac{1}{M}\sum _{n=0}^{\infty }x(n)\sum _{k=0}^{M-1}(W_M{)}^{-kn}{z}^{-n}\text{\hspace{1em}(A.8)}$$
整理得
$$X_1(z)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(z{W}_M^k)\text{\hspace{1em}(A.9)}$$
将上式带入A.6中得
$$Y(z)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(z^{\frac{1}{M}}{W}_M^k)\text{\hspace{1em}(A.10)}$$
令$z=e^{jw}$，带入上式，即A.2，证毕。