UVA 1347 Tour 双调旅行商

最新推荐文章于 2021-03-20 09:31:49 发布

leodestiny

最新推荐文章于 2021-03-20 09:31:49 发布

阅读量661

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012139398/article/details/43682979

动态规划专栏收录该内容

25 篇文章

订阅专栏

本文详细阐述了最小距离路径问题的双调旅行商算法，包括问题背景、思路、状态转移方程及算法复杂度，并通过代码实例展示了实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：平面上有N个点。一个人要从左上角的点向右走，到右下角的点，然后再回到左上角的点。现在想让这个人每个点到达一次，且走的总路程的距离最小。求出最小的距离。
思路：双调旅行商问题。
因为起点和中途点已知，我们可以把这个问题转化成两个人从左上角出发，分别不重复的到达其他点，最后在右下角的点汇合。
可以注意到，在这个过程中，两个人位于的点，他们经过的点，这三个就可以描述他们的状态。
定义dp[i][j]为一个人在点i,一个人在点j,他们经过了前 $max(i,j)$ 个城市，因为两个人的顺序可以发生变化，我们令 $i\ge j$ 是不会影响状态的。
但是该怎么样进行状态转移呢？注意到 $dp[i][j]$ 表示他们已经走完了前i个城市，那为了保持定义，我们必须下一个状态走完前i+1个城市。但是由两个人中的谁去呢？这个需要进行决策。
所以状态转移方程是：

d p [i] [j] = m i n (d p [i + 1] [j] + d [i] [i + 1], d p [i + 1] [i] + d [j] [i + 1]), i \geq j

$dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + d[i][i+1],dp[i+1][i]+d[j][i+1]), i \ge j$
其中

d[i][j] $d[i][j]$ 表示第i个点和第j个点之间的距离。
边界条件：

d p [n] [j] = d [j] [n]

$dp[n][j] = d[j][n]$
算法复杂度为

Θ(n 2 ). $\Theta(n^2).$
代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 1010;

int x[MAX],y[MAX];
double d[MAX][MAX];
double dp[MAX][MAX];

int main(void)
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int N;
    while(scanf("%d",&N) != EOF){
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
        for(int i = 1; i <= N; ++i){
            for(int j = 1; j < i; ++j){
                double dx = x[i]-x[j];
                double dy = y[i]-y[j];
                d[i][j] = d[j][i] = sqrt(dx*dx+dy*dy);
            }
            d[i][i] = 0.0;
        }
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
            dp[N][i] = d[i][N];
        for(int i = N - 1; i >= 1; --i)
            for(int j = 1; j <= i; ++j)
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + d[i][i+1],dp[i+1][i] + d[j][i+1]);
        printf("%.2f\n",dp[1][1]);
    }
    return 0;
}