Leetcode:Triangle 数字三角形

最新推荐文章于 2024-03-23 20:44:48 发布

littlebirdman

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分类专栏： leetcode 文章标签： leetcode Triangle 算法动态规划递归算法

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本文详细解析LeetCode上的Triangle问题，如何找到数字三角形中从顶点到底部的最小路径和。重点讲解动态规划、递归以及记忆搜索三种解法，特别是如何避免重复计算以优化效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

刚开始没读懂这道题，以为把每个子数组的最小值相加就可以了，WA之后仔细看题才知道人家的要求是只能与下一层的临近的两个节点相加。才想起来以前看过这道题。

分析：把当前的位置（i,j）看成是一个状态，然后定义状态函数dp(i,j)为从(i,j)出发能够得到的最小和(包括(i,j)),在这个状态的定义下，原问题的解是dp(0,0)。

从(i,j)出发有两种选择：要么走(i+1,j)，需要求出dp(i+1,j)；要么走(i+1,j+1)，需要求出dp(i+1,j+1)。然后从dp(i+1,j)和dp(i+1,j+1)中选出较小的再加上triangle[i][j]即为dp[i][j]。

由此可知状态转移方程为：dp(i,j) = triangle[i][j] + min{dp(i+1,j),dp(i+1,j+1)}

得到状态转移方程之后便得到三种解法：

1.递归

int dp(int i,int j)
{
   return triangle[i][j] + (i == n ? 0 : dp(i + 1,j) <? dp(i + 1,j + 1));
}

dp(0,0)即为所求。

递归效率太低，主要原因是出现的大量的重复计算。比如在求dp(2,1)和dp(2,2)时，重复计算了dp(3,2)。

2.动态规划

由于递归算法存在大量重复计算，所以可以加入备忘录，用动态规划的方法解。

class Solution {
public:

    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        int length = triangle.size();
        
        int **dp = new int *[length];
        for(int i = 0;i < length;i++)
        {
            dp[i] = new int[length];
        }
        
        for(int i = 0;i < length;i++)
        {
            for(int j = 0;j < length;j++)
                dp[i][j] = triangle[i][j];
        }
        
        for(int i = length - 2;i >= 0;i--)
        {
            int len = triangle[i].size();
            for(int j = 0;j < len;j++)
                dp[i][j] = triangle[i][j] + min(dp[i + 1][j],dp[i+1][j+1]);
        }
        
        int result = dp[0][0];
        for(int i = 0;i < length;i++)
            delete []dp[i];
        delete []dp;
        
        return result;
    }
};

3.记忆搜索

首先先将dp全都初始化为-1，然后编写递归函数：

int dp(int i,int j)
{
   if(dp[i][j] >= 0)return dp[i][j];
   return dp[i][j] = triangle[i][j] + (i == n ? 0 : dp(i+1,j) <? dp(i+1,j+1));
}