典型DP_背包问题

屈奶奶《算法设计与分析》学习笔记1

 

问题主观描述：一个背包（可能有重量或体积限制，根据限制条件可分为多种类型），n种物品（线性约束条件对应于背包），选物品放到背包里得到最优方案。

复杂性：NP难（即不能找到多项式算法，近似算法在之后的第八章介绍）

        对NP难的解释：考虑完全背包问题（n种物品，每种可供选的物品数量有无限多，背包限制只有一维重量b），看起来时间复杂度为O(n*b)，但实际上输入规模是n和logb（因为计算机中用二进制来存储数据，logb是b的二进制表示的位数）。“显然O(nb)不是n和Logb的多项式函数，这样的算法称为伪多项式时间的算法。”

 

一、算分作业三题

      书中典例为完全背包问题，递推方程为f[i][j] = max{ f[i - 1][j], f[i][j - w[i]] + v[i] (j >= w[i]) }（注意第二项中为f[i][...]，而非f[i-1][...]）

                        对比0-1背包问题递推方程：f[i][j] = max{ f[i - 1][j], f[i-1][j - w[i]] + v[i] (j >= w[i]) }

3.5 就跟例题几乎一样，只不过将重量和价值调换位置，递推方程也改成min,手动画出备忘录表和标记函数表，两个表应该同时画，相当于人脑去执行这个程序。

3.7 背包限制拓展到重量和体积两维，最终为f[i][j][k]...

3.13下载问题

       思路1：相当于重量和价值合为一体，做法相同，f[i][j] = max{ f[i-1][j], f[i-1][j-a[i]] + a[i]};f[1][j] = 0 (j < a[1]), f[1][j] = a[1] (j>= a[1])

 注意这里的f[i][j]表示考虑前i个申请，限制带宽为j时的最大带宽使用量，即所取的sum(a[i])不大于j

       思路2：f[i][j]表示考虑前i个申请，sum(a[i]) = j是否可行，只有0和1两种状态，未经验证，比思路1的 缺点在于不好写标记函数，直接逆推可以有多个解

 

二、经典背包问题九讲拓展

还没好好看，注意不同问题中f[i][j]的定义是不大于j，还是恰好=j，涉及到边界设定问题

背包问题九讲（转）