118. 杨辉三角

本文介绍了一种生成帕斯卡三角形的方法,通过Python代码实现。帕斯卡三角形是一种数学上的数列,每一行的两端都是1,其余位置的数等于其正上方两数之和。代码通过迭代方式生成指定行数的帕斯卡三角形。

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https://leetcode-cn.com/problems/pascals-triangle/

class Solution:
    def generate(self, numRows):
        """
        :type numRows: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        if numRows == 0:
            return []
        res = [[1]]
        row = [1]
        if numRows == 1:
            return res
       
       #一层层叠加 
        for i in range(1, numRows):
            new_row = [1]
            for j in range(1, i):
                new_row.append(row[j-1] + row[j])
            new_row.append(1)
            
            row = new_row
            res.append(new_row)
        
        return res
内容概要:本文围绕直流微电网中带有恒功率负载(CPL)的DC/DC升压转换器的稳定控制问题展开研究,提出了一种复合预设性能控制策略。首先,通过精确反馈线性化技术将非线性不确定的DC转换器系统转化为Brunovsky标准型,然后利用非线性扰动观测器评估负载功率的动态变化和输出电压的调节精度。基于反步设计方法,设计了具有预设性能的复合非线性控制器,确保输出电压跟踪误差始终在预定义误差范围内。文章还对比了多种DC/DC转换器控制技术如脉冲调整技术、反馈线性化、滑模控制(SMC)、主动阻尼法和基于无源性的控制,并分析了它们的优缺点。最后,通过数值仿真验证了所提控制器的有效性和优越性。 适合人群:从事电力电子、自动控制领域研究的学者和工程师,以及对先进控制算法感兴趣的研究生及以上学历人员。 使用场景及目标:①适用于需要精确控制输出电压并处理恒功率负载的应用场景;②旨在实现快速稳定的电压跟踪,同时保证系统的鲁棒性和抗干扰能力;③为DC微电网中的功率转换系统提供兼顾瞬态性能和稳态精度的解决方案。 其他说明:文中不仅提供了详细的理论推导和算法实现,还通过Python代码演示了控制策略的具体实现过程,便于读者理解和实践。此外,文章还讨论了不同控制方法的特点和适用范围,为实际工程项目提供了有价值的参考。
内容概要:该论文介绍了一种名为偏振敏感强度衍射断层扫描(PS-IDT)的新型无参考三维偏振敏感计算成像技术。PS-IDT通过多角度圆偏振光照射样品,利用矢量多层光束传播模型(MSBP)和梯度下降算法迭代重建样品的三维各向异性分布。该技术无需干涉参考光或机械扫描,能够处理多重散射样品,并通过强度测量实现3D成像。文中展示了对马铃薯淀粉颗粒和缓步类动物等样品的成功成像实验,并提供了Python代码实现,包括系统初始化、前向传播、多层传播、重建算法以及数字体模验证等模块。 适用人群:具备一定光学成像和编程基础的研究人员,尤其是从事生物医学成像、材料科学成像领域的科研工作者。 使用场景及目标:①研究复杂散射样品(如生物组织、复合材料)的三维各向异性结构;②开发新型偏振敏感成像系统,提高成像分辨率和对比度;③验证和优化计算成像算法,应用于实际样品的高精度成像。 其他说明:PS-IDT技术相比传统偏振成像方法具有明显优势,如无需干涉装置、无需机械扫描、可处理多重散射等。然而,该技术也面临计算复杂度高、需要多角度数据采集等挑战。文中还提出了改进方向,如采用更高数值孔径(NA)物镜、引入深度学习超分辨率技术等,以进一步提升成像质量和效率。此外,文中提供的Python代码框架为研究人员提供了实用的工具,便于理解和应用该技术。
<think>我们正在分析LeetCode118题“杨辉三角”的多种解法,并分析每种解法的时间复杂度和空间复杂度(使用C++实现)。根据引用内容,我们已知:1.引用[1]指出时间复杂度为$O(numRows^2)$,空间复杂度为$O(n)$(但这里空间复杂度可能有误,因为杨辉三角需要存储整个二维数组,所以空间复杂度应该是$O(n^2)$)。2.引用[2][3][4]的代码实现都是使用二维数组,并明确时间和空间复杂度为$O(n^2)$(其中n是行数)。3.引用[5]是杨辉三角II(只返回第k行),但本题要求生成整个三角。题目要求:生成一个numRows行的杨辉三角杨辉三角的性质:-第i行(从0开始)有i+1个数。-每行的第一个和最后一个数都是1。-对于中间的元素,满足:triangle[i][j]=triangle[i-1][j-1]+triangle[i-1][j]我们将介绍三种常见解法,并分析复杂度:解法一:动态规划(二维数组法)——即用户提供的代码-描述:使用二维数组存储每一行,按照杨辉三角的递推关系填充。-时间复杂度:$O(n^2)$,因为需要填充$n$行,且第i行有$i$个元素(不包括首尾固定为1的元素,但整体操作次数为$\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。-空间复杂度:$O(n^2)$,因为存储了整个二维数组(杨辉三角的所有元素)。解法二:动态规划(一维数组滚动更新)——优化空间复杂度-描述:我们注意到,计算第i行时,只需要第i-1行的数据。因此,我们可以只维护一个一维数组(上一行),然后不断更新当前行,并将当前行保存到结果中。-但是,由于题目要求返回整个杨辉三角(所有行),所以我们必须存储每一行,因此空间复杂度无法优化到$O(n)$以下(至少需要$O(n^2)$存储结果)。所以这种方法在空间复杂度上并没有优化(结果空间是必须的)。-注意:如果题目像119题(杨辉三角II)一样只要求返回第k行,那么我们可以用$O(k)$的空间完成。但本题要求返回所有行,所以空间复杂度必然为$O(n^2)$。解法三:数学公式法(组合数)-描述:杨辉三角的第i行第j列(行列均从0开始)的值为组合数$C(i,j)$。因此,我们可以直接计算每个位置的值。-公式:$C(i,j)=\frac{i!}{j!\cdot(i-j)!}$,但是直接计算阶乘可能会导致溢出,而且计算阶乘的时间复杂度较高。-优化计算:我们可以用递推关系计算组合数:$C(i,j)=C(i,j-1)\times(i-j+1)/j$,这样避免阶乘。-时间复杂度:$O(n^2)$,因为要计算$n$行,每行最多$n$个元素,每个元素需要常数时间计算(递推关系)。-空间复杂度:$O(n^2)$(存储整个结果)。但是,解法三在实现时需要注意:-由于整数除法可能产生小数,但组合数一定是整数。因此,在递推计算中,我们可以保证整除(因为每一步都是整数乘法再除以整数,且能整除)。-然而,在C++中,整数除法在整除时是安全的,但要注意乘法可能溢出(使用`int`可能不够,但题目没有指定范围,通常numRows较小,如不超过30,则不会溢出)。然而,引用[2][3][4]都采用了二维数组的动态规划方法,这是最常见且易于理解的。因此,我们总结:-解法一(二维数组动态规划)是最直接的方法。-解法二(滚动数组)在本题中并不能降低空间复杂度(因为需要返回所有行),但在只要求输出一行时有效(如119题)。-解法三(组合数)在数学上直接,但实际实现可能不如动态规划简单,且可能有溢出问题。所以,在LeetCode118题中,通常采用解法一。现在,我们分析用户提供的代码(即解法一):-代码逻辑:vector<vector<int>>res(numRows);//创建有numRows行的二维vectorfor(inti=0;i<numRows;i++){res[i].resize(i+1,0);//每行调整大小为i+1,并初始化为0res[i][0]=res[i][i]=1;//首尾置1}for(inti=2;i<numRows;i++){//从第三行(下标2)开始for(intj=1;j<i;j++){res[i][j]=res[i-1][j-1]+res[i-1][j];//递推关系}}-时间复杂度:$O(n^2)$。外层循环执行了$n-2$次(从2到n-1),内层循环对于第i行执行了$i-1$次。所以总操作次数为$\sum_{i=2}^{n-1}(i-1)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}\inO(n^2)$。另外,初始化部分循环了$n$行,每行初始化时间为$O(i)$(resize操作),初始化总时间也是$O(n^2)$。因此整体是$O(n^2)$。-空间复杂度:$O(n^2)$,因为存储了整个二维数组(结果),数组总元素数为$\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。引用[1]中提到的空间复杂度为$O(n)$,这可能是错误的,因为结果需要$O(n^2)$空间。除非引用[1]只计算了额外辅助空间(但题目要求返回结果,结果空间通常计入空间复杂度),所以这里我们认为是$O(n^2)$。引用[4]明确指出时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。因此,用户提供的代码的时间复杂度为$O(n^2)$,空间复杂度为$O(n^2)$。下面我们给出三种解法的C++代码示例(但注意解法二在本题中空间复杂度无法优化,所以我们只给出解法和分析,代码实现与解法一类似,因为必须存储每一行)。解法一:动态规划(二维数组)——用户代码,已给出解法二:动态规划(滚动数组,但用于生成每一行)——注意,由于需要保存每一行,所以空间复杂度不变,但可以节省中间计算时的额外空间(实际上解法一也不需要额外空间,因为直接使用上一行已经计算好的结果)。所以解法二的代码与解法一几乎一样,只是内层循环从后往前计算可以避免覆盖,但本题中我们不需要覆盖,因为要保存所有行。所以解法二在本题中不适用(或者没有优势)。解法三:组合数(递推计算)-代码示例:vector<vector<int>>generate(intnumRows){vector<vector<int>>res;for(inti=0;i<numRows;i++){vector<int>row(i+1);row[0]=1;//第一个元素为1//利用组合数递推关系:C(i,j)=C(i,j-1)*(i-j+1)/jfor(intj=1;j<=i;j++){//注意:这里用乘法递推,注意顺序和整数除法row[j]=(long)row[j-1]*(i-j+1)/j;}res.push_back(row);}returnres;}-注意:乘法可能会溢出,所以我们使用`long`转换。但题目中numRows一般不会太大(比如不超过30),所以不会溢出。-复杂度:同样$O(n^2)$时间和$O(n^2)$空间。总结:LeetCode118题主要有两种有效解法:动态规划(递推)和组合数法,时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。相关问题:1.如果只需要返回杨辉三角的第k行(LeetCode119题),如何优化空间复杂度到$O(k)$?2.杨辉三角在组合数学中有哪些应用?例如,如何利用杨辉三角计算二项式展开的系数?3.杨辉三角与斐波那契数列之间有什么联系?</think>### LeetCode 118 杨辉三角:解法、时间与空间复杂度分析(C++) #### 一、题目要求 生成 `numRows` 行的杨辉三角,每个数是其左上方和右上方数的和。 示例: 输入:`numRows = 5` 输出: ``` [[1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1]] ``` --- #### 二、三种解法及复杂度分析 ##### 解法一:动态规划(二维数组)— **最优推荐** ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res(numRows); for (int i = 0; i < numRows; i++) { res[i].resize(i + 1, 0); // 初始化当前行 res[i][0] = res[i][i] = 1; // 边界置1 for (int j = 1; j < i; j++) { // 填充中间元素 res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j]; } } return res; } }; ``` - **时间复杂度**:$O(n^2)$ 需要填充 $\sum_{i=0}^{n-1} (i+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ 个元素,属于平方级增长[^4]。 - **空间复杂度**:$O(n^2)$ 存储整个杨辉三角,元素总数 $\frac{n(n+1)}{2}$[^3]。 ##### 解法二:组合数公式(数学法) ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res; for (int i = 0; i < numRows; i++) { vector<int> row; for (int j = 0; j <= i; j++) { row.push_back(combination(i, j)); // 计算组合数C(i,j) } res.push_back(row); } return res; } private: int combination(int n, int k) { long res = 1; // 避免乘法溢出 for (int i = 1; i <= k; i++) { res = res * (n - i + 1) / i; // 递推公式 } return (int)res; } }; ``` - **时间复杂度**:$O(n^3)$ 计算每个元素 $C(i,j)$ 需 $O(j)$ 时间,总操作数 $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i} j = O(n^3)$。 - **空间复杂度**:$O(n^2)$(存储结果)。 ##### 解法三:递归(不推荐) ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { if (numRows == 1) return {{1}}; vector<vector<int>> prev = generate(numRows - 1); vector<int> newRow(numRows, 1); for (int j = 1; j < numRows - 1; j++) { newRow[j] = prev.back()[j - 1] + prev.back()[j]; } prev.push_back(newRow); return prev; } }; ``` - **时间复杂度**:$O(n^2)$ 递归深度 $O(n)$,每层计算量 $O(n)$。 - **空间复杂度**:$O(n^2)$(存储结果 + 递归栈 $O(n)$)。 --- #### 三、复杂度对比总结 | 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |--------------|------------|------------|------------------| | 动态规划 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 最优解,代码简洁 | | 组合数公式 | $O(n^3)$ | $O(n^2)$ | 数学理论验证 | | 递归 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 教学演示 | > **推荐解法**:动态规划(解法一)是标准解法,时间/空间复杂度已达理论最优[^4]。 --- #### 四、杨辉三角的性质与应用 1. **性质**: - 第 $n$ 行第 $k$ 个元素为组合数 $C(n,k)$[^2]。 - 对称性:$C(n,k) = C(n, n-k)$。 2. **应用**: - 计算二项式展开系数:$(a+b)^n$ 的系数即第 $n$ 行[^2]。 - 概率论:二项分布的概率计算。 ---
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